Considere o operador linear dado por . Determine:
(a) e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por . A questão pede para determinarmos a dimensão do núcleo () e a dimensão da imagem () desse operador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e teoria das dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo de , escrito como , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:
Passo 3
Vamos encontrar . Para isso, igualamos a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, implica que .
Substituindo na primeira equação: , então .
Portanto, o ��nico vetor no núcleo é .
Passo 5
Assim, podemos concluir que:
A dimensão do núcleo, , é o número de vetores em uma base para o núcleo. Como só temos o vetor zero, a dimensão é 0.
Passo 6
Agora, vamos determinar a imagem de . A imagem de , escrita como , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de . Ou seja:
Passo 7
Observando a transformação , podemos notar que:
O segundo componente, , pode assumir qualquer valor real, já que varia em .
Dado qualquer , podemos escolher para obter .
Para o primeiro componente, , onde pode ser qualquer número real.
Isso mostra que para qualquer , existe um tal que .
Passo 8
Portanto, a imagem de é todo o espaço :
A dimensão da imagem, , é 2, pois é um espaço bidimensional.