Considere o operador linear T: R^2 longrightarrow R^2 dado por T(x, y)=(x+y, 2 y). Determine:
(a) dim(Kcr T) e dim(Im T).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um operador linear definido por . A questão pede para determinarmos a dimensão do núcleo ( ) e a dimensão da imagem ( ) desse operador. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como núcleo, imagem e teoria das dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o núcleo de um operador linear. O núcleo de Ker T = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = (0, 0) , escrito como , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em . Ou seja:

Passo 3

Vamos encontrar T(x, y) = (x + y, 2y) = (0, 0) . Para isso, igualamos x + y = 0 2y = 0 a zero:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação, implica que .
  2. Substituindo na primeira equação: , então .
Portanto, o ��nico vetor no núcleo é .

Passo 5

Assim, podemos concluir que:
Ker T = (0, 0)
A dimensão do núcleo, , é o número de vetores em uma base para o núcleo. Como só temos o vetor zero, a dimensão é 0.

Passo 6

Agora, vamos determinar a imagem de Im T = T(x, y) mid (x, y) in R^2 . A imagem de , escrita como , é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando em algum vetor de . Ou seja:

Passo 7

Observando a transformação , podemos notar que:
  • O segundo componente, , pode assumir qualquer valor real, já que varia em .
  • Dado qualquer , podemos escolher para obter .
  • Para o primeiro componente, , onde pode ser qualquer número real.
Isso mostra que para qualquer , existe um tal que .

Passo 8

Portanto, a imagem de Im T = R^2 é todo o espaço :
A dimensão da imagem, , é 2, pois é um espaço bidimensional.

Resposta

dim(Ker T) = 0 e dim(Im T) = 2

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