Dados W1=[llx & y z & t] ; z=-t e W2=[lla & b c & d] ; a-b+c=0 subespaços de M2 times 2(R)
Detrmine:
(b) Uma base beta para W1+W2.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. Temos dois conjuntos de matrizes, e , que são subespaços do espaço das matrizes com entradas reais. O enunciado pede para encontrarmos uma base para a soma desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como somar os subespaços e identificar vetores que gerem esse novo espaço sem redundância.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são W1= x & y z & t ; z = -t e x & y z & -z .
Para 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & -1 :
W2= a & b c & d ; a - b + c = 0
Aqui, a condição b - c & b c & d nos diz que podemos expressar qualquer matriz em 1 & 1 -1 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 como:
Isso significa que é gerado pelas matrizes:
Para :
A condição pode ser rearranjada para . Portanto, qualquer matriz em pode ser escrita como:
Assim, é gerado pelas matrizes:

Passo 3

Agora, para encontrar 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & -1 , 1 & 1 -1 & 0 , 0 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 , precisamos combinar as bases de e . Ou seja, consideramos todas as combinações lineares das matrizes que geram e .
Isso nos dá o conjunto:

Passo 4

Precisamos agora verificar quais dessas matrizes são linearmente independentes para formar uma base de 1 & 0 0 & 0 (1, 0, 0, 0) . Para isso, colocamos as matrizes em forma de vetores e verificamos a independência linear.
Representando cada matriz como um vetor em 0 & 1 0 & 0 (0, 1, 0, 0) :
0 & 0 1 & -1 (0, 0, 1, -1)
1 & 1 -1 & 0 (1, 1, -1, 0)
0 & 0 1 & 0 (0, 0, 1, 0)
0 & 0 0 & 1 (0, 0, 0, 1)

Passo 5

Montamos uma matriz com esses vetores como linhas e aplicamos a eliminação de Gauss para encontrar quais linhas são independentes:
1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Após a eliminação, verificamos que as primeiras quatro linhas são independentes, e as últimas duas são combinações das anteriores.

Passo 6

Portanto, uma base para beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & -1 , 1 & 1 -1 & 0 é formada pelas quatro primeiras matrizes originais:

Resposta

Uma base beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & -1 , 1 & 1 -1 & 0 para é:

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