Dados e subespaços de
Detrmine:
(b) Uma base para .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido. Temos dois conjuntos de matrizes, e , que são subespaços do espaço das matrizes com entradas reais. O enunciado pede para encontrarmos uma base para a soma desses dois subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar entender como somar os subespaços e identificar vetores que gerem esse novo espaço sem redundância.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e .
Para :
Aqui, a condição nos diz que podemos expressar qualquer matriz em como:
Isso significa que é gerado pelas matrizes:
Para :
A condição pode ser rearranjada para . Portanto, qualquer matriz em pode ser escrita como:
Assim, é gerado pelas matrizes:
Passo 3
Agora, para encontrar , precisamos combinar as bases de e . Ou seja, consideramos todas as combinações lineares das matrizes que geram e .
Isso nos dá o conjunto:
Passo 4
Precisamos agora verificar quais dessas matrizes são linearmente independentes para formar uma base de . Para isso, colocamos as matrizes em forma de vetores e verificamos a independência linear.
Representando cada matriz como um vetor em :
Passo 5
Montamos uma matriz com esses vetores como linhas e aplicamos a eliminação de Gauss para encontrar quais linhas são independentes:
Após a eliminação, verificamos que as primeiras quatro linhas são independentes, e as últimas duas são combinações das anteriores.
Passo 6
Portanto, uma base para beta = 1 & 0 0 & 0 , 0 & 1 0 & 0 , 0 & 0 1 & -1 , 1 & 1 -1 & 0 é formada pelas quatro primeiras matrizes originais: