Verifique que
dada por
é invertivel e calcule sua inversa.
Passo 1
Você tem uma transformação linear
definida por
. Vamos verificar se essa transformação é invertível, ou seja, se existe uma transformação que desfaz o que
faz. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, representamos a transformação
como uma matriz. Sabemos que
pode ser escrita como uma multiplicação de matrizes:
Aqui, a matriz
representa a transformação
.
Passo 3
Para que a transformação seja invertível, a matriz associada
deve ter um determinante diferente de zero. Vamos calcular o determinante de
:
Como o determinante é
, que é diferente de zero, a transformação
é invertível.
Passo 4
Agora, para encontrar a matriz inversa
, usamos a fórmula para a inversa de uma matriz
:
Aplicando isso à matriz
:
Passo 5
Com a matriz inversa
encontrada, podemos definir a transformação inversa
. Se
, então:
Calculando as multiplicações:
Portanto, a transformação inversa é:
Resposta
A transformação inversa de
é
.
Exercícios relacionados
Considere o operador linear
dado por
. Determine:
(a) e
.
(a)
Dados
e
subespaços de
Detrmine:
(b) Uma base para
.
Detrmine:
(b) Uma base
Escreva as matrizes abaixo na forma escalonada reduzida.
O que sāo a matriz dos coeficientes e a matriz ampliada de um sistema linear?