Verifique que T: R^2 longrightarrow R^2 dada por
T(x, y)=(x+y, 2 x+y)
é invertivel e calcule sua inversa.

Passo 1

Você tem uma transformação linear definida por . Vamos verificar se essa transformação é invertível, ou seja, se existe uma transformação que desfaz o que faz. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, representamos a transformação T(x, y) = 1 & 1 2 & 1 x y como uma matriz. Sabemos que 1 & 1 2 & 1 pode ser escrita como uma multiplicação de matrizes:
Aqui, a matriz representa a transformação .

Passo 3

Para que a transformação seja invertível, a matriz associada det(A) = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1 deve ter um determinante diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é , que é diferente de zero, a transformação é invertível.

Passo 4

Agora, para encontrar a matriz inversa A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , usamos a fórmula para a inversa de uma matriz 1 & 1 2 & 1 :
A^-1 = 1-1 1 & -1 -2 & 1 = -1 & 1 2 & -1
Aplicando isso à matriz :

Passo 5

Com a matriz inversa x y = A^-1 u v = -1 & 1 2 & -1 u v encontrada, podemos definir a transformação inversa x = -u + v . Se y = 2u - v , então:
T^-1(u, v) = (-u + v, ; 2u - v)
Calculando as multiplicações:
Portanto, a transformação inversa é:

Resposta

A transformação inversa de é .

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