Determine o valor(es) de k in R para os quais o sistema a seguir admita uma única solução
c x+y=-3 2 x+4 y+z=0 k x+5 y+2 z=3

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações lineares para encontrar o valor de que faz com que o sistema tenha uma única solução. Usaremos conceitos de álgebra linear, especificamente a determinação de quando uma matriz é invertível, o que garante uma solução única.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A = 1 & 1 & 0 2 & 4 & 1 k & 5 & 2 , x = x y z , b = -3 0 3 :

Passo 3

Para que o sistema tenha uma única solução, a matriz det(A) = 1 & 1 & 0 2 & 4 & 1 k & 5 & 2 deve ser inversível, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :

Passo 4

Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det(A) = 1 cdot (4 cdot 2 - 1 cdot 5) - 1 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot k) + 0 cdot (2 cdot 5 - 4 cdot k)
det(A) = 1 cdot (8 - 5) - 1 cdot (4 - k) + 0
det(A) = 3 - (4 - k) = 3 - 4 + k = k - 1

Passo 5

Para que o determinante seja diferente de zero:
k - 1 neq 0 implies k neq 1

Resposta

O valor de deve ser diferente de 1 para que o sistema tenha uma única solução.

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