Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autoespaços do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz desse operador, achar os autovalores resolvendo a equação característica e depois encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Cada coluna dessa matriz será a imagem dos vetores da base canônica .
Calculando:
Então, a matriz de fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica: , onde é a matriz identidade e é o autovalor.
Vamos montar :
Calculando o determinante:
]
Simplificando:
]
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são:
Observa-se que tem multiplicidade 2.
Passo 4
Agora vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso dá o sistema:
Da equação (2): .
Substituindo na equação (1): .
Então, os vetores próprios são da forma:
Portanto, o autoespaço para é:
Para :
Resolvemos :
Sistema:
Das equações (1) e (3): .
Substituindo na equação (2): .
Então, os vetores próprios são da forma:
Portanto, o autoespaço para é:
Resposta
Os autovalores de são e . Os autoespaços correspondentes são: