Considere o operador linear T: R^3 longrightarrow R^3, definido por
T(x, y, z)=(3 x+y, x-z, y+3 z)
Determine os autovalores e os autoespaços de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autoespaços do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz desse operador, achar os autovalores resolvendo a equação característica e depois encontrar os autoespaços para cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T(e1) = T(1, 0, 0) = (3cdot1 + 0, 1 - 0, 0 + 3cdot0) = (3, 1, 0) como uma matriz. Cada coluna dessa matriz será a imagem dos vetores da base canônica T(e2) = T(0, 1, 0) = (3cdot0 + 1, 0 - 0, 1 + 3cdot0) = (1, 0, 1) .
Calculando:
T(e3) = T(0, 0, 1) = (3cdot0 + 0, 0 - 1, 0 + 3cdot1) = (0, -1, 3)
A = 3 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & 3
Então, a matriz de fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica: A - lambda I = 3 - lambda & 1 & 0 1 & -lambda & -1 0 & 1 & 3 - lambda , onde det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(-lambda)(3 - lambda) - (-1)(1)] - 1[1(3 - lambda) - (-1)(0)] + 0[] é a matriz identidade e = (3 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 1) - (3 - lambda) é o autovalor.
Vamos montar = (3 - lambda)(lambda^2 - 3lambda) :
det(A - lambda I) = lambda (3 - lambda)^2
Calculando o determinante:
lambda (3 - lambda)^2 = 0
lambda1 = 0, lambda2 = 3
]
Simplificando:
]
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são:
Observa-se que tem multiplicidade 2.

Passo 4

Agora vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para 3 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0 :

Resolvemos 3v1 + v2 = 0 (1) v1 - v3 = 0 (2) v2 + 3v3 = 0 (3) :
[
v = v3 1 -3 1
E0 = span 1 -3 1

A - 3I = 0 & 1 & 0 1 & -3 & -1 0 & 1 & 0
]
Isso dá o sistema:
0v1 + v2 + 0v3 = 0 (1) v1 -3v2 - v3 = 0 (2) 0v1 + v2 + 0v3 = 0 (3)
Da equação (2): v = v3 1 0 1 .
Substituindo na equação (1): E3 = span 1 0 1 .
Então, os vetores próprios são da forma:
Portanto, o autoespaço para é:
Para :
Resolvemos :
Sistema:
Das equações (1) e (3): .
Substituindo na equação (2): .
Então, os vetores próprios são da forma:
Portanto, o autoespaço para é:

Resposta

Os autovalores de E0 = span 1 -3 1 , E3 = span 1 0 1 são e . Os autoespaços correspondentes são:

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