Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autoespaços do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz desse operador, achar os autovalores resolvendo a equação característica e depois encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Cada coluna dessa matriz será a imagem dos vetores da base canônica .
Calculando:
Então, a matriz de fica:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica: A - lambda I = 3 - lambda & 1 & 0 1 & -lambda & -1 0 & 1 & 3 - lambda , onde det(A - lambda I) = (3 - lambda)[(-lambda)(3 - lambda) - (-1)(1)] - 1[1(3 - lambda) - (-1)(0)] + 0[] é a matriz identidade e = (3 - lambda)(lambda^2 - 3lambda + 1) - (3 - lambda) é o autovalor.
Vamos montar = (3 - lambda)(lambda^2 - 3lambda) :
det(A - lambda I) = lambda (3 - lambda)^2
Calculando o determinante:
lambda (3 - lambda)^2 = 0
lambda1 = 0, lambda2 = 3
]
Simplificando:
]
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são:
Observa-se que tem multiplicidade 2.
Passo 4
Agora vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.