Considere o operador linear , definido por
Determine os autovalores e os autoespaços de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e os autoespaços do operador linear definido por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos precisar montar a matriz desse operador, achar os autovalores resolvendo a equação característica e depois encontrar os autoespaços para cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Cada coluna dessa matriz será a imagem dos vetores da base canônica .
Calculando:
Então, a matriz de fica:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica: , onde é a matriz identidade e é o autovalor.
Vamos montar :
Calculando o determinante:
]
Simplificando:
]
Igualando a zero:
Portanto, os autovalores são:
Observa-se que tem multiplicidade 2.

Passo 4

Agora vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor.
Para :

Resolvemos :
[


]
Isso dá o sistema:
Da equação (2): .
Substituindo na equação (1): .
Então, os vetores próprios são da forma:
Portanto, o autoespaço para é:
Para :
Resolvemos :
Sistema:
Das equações (1) e (3): .
Substituindo na equação (2): .
Então, os vetores próprios são da forma:
Portanto, o autoespaço para é:

Resposta

Os autovalores de são e . Os autoespaços correspondentes são:

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