Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de
?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três matrizes
,
e
e queremos descobrir se uma quarta matriz específica é uma combinação linear dessas três. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente sobre combinações lineares e sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações e ver se ele tem solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Basicamente, estamos procurando por números
,
e
tais que:
Isso quer dizer que vamos multiplicar cada uma das matrizes
,
e
por
,
e
respectivamente, e somar os resultados para igualar à matriz dada.
Passo 3
Vamos escrever essa equação de forma mais detalhada, substituindo as matrizes:
Agora, vamos somar as matrizes:
Passo 4
Agora, igualamos os elementos correspondentes para formar um sistema de equações:
-
\quad (Elemento (1,1)) -
\quad (Elemento (1,2)) -
\quad (Elemento (2,1)) -
\quad (Elemento (2,2))
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começaremos pela segunda equação para isolar uma variável.
Da equação 2:
Agora, substituímos
na equação 1:
Substituímos
na equação 3:
E na equação 4:
Passo 6
Agora temos o sistema com as equações 5, 6 e 7:
-
\quad (Equação 5) -
\quad (Equação 6) -
\quad (Equação 7)
Vamos resolver da seguinte maneira:
Da equação 5, isolamos
:
Substituímos
na equação 6:
Agora, encontramos
:
E encontrando
usando
:
Resposta
Sim, a matriz
é uma combinação linear de
,
e
com os coeficientes: