Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de A=[cc4 & 0 -2 & -2], B=[cc1 & -1 2 & 3], C=[ll0 & 2 1 & 4] ? [cc-1 & 5 7 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem três matrizes , e e queremos descobrir se uma quarta matriz específica é uma combinação linear dessas três. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente sobre combinações lineares e sistemas de equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações e ver se ele tem solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Basicamente, estamos procurando por números xA + yB + zC = -1 & 5 7 & 1 , e tais que:
Isso quer dizer que vamos multiplicar cada uma das matrizes , e por , e respectivamente, e somar os resultados para igualar à matriz dada.

Passo 3

Vamos escrever essa equação de forma mais detalhada, substituindo as matrizes:
x 4 & 0 -2 & -2 + y 1 & -1 2 & 3 + z 0 & 2 1 & 4 = -1 & 5 7 & 1
Agora, vamos somar as matrizes:
4x + y + 0z & 0x - y + 2z -2x + 2y + z & -2x + 3y + 4z = -1 & 5 7 & 1

Passo 4

Agora, igualamos os elementos correspondentes para formar um sistema de equações:
  1. \quad (Elemento (1,1))
  2. \quad (Elemento (1,2))
  3. \quad (Elemento (2,1))
  4. \quad (Elemento (2,2))

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começaremos pela segunda equação para isolar uma variável.
Da equação 2:
-y + 2z = 5 implies y = 2z - 5
Agora, substituímos 4x + (2z - 5) = -1 implies 4x + 2z = 4 implies 2x + z = 2 (Equação 5) na equação 1:
-2x + 2(2z - 5) + z = 7 implies -2x + 4z - 10 + z = 7 implies -2x + 5z = 17 (Equação 6) çã
Substituímos -2x + 3(2z - 5) + 4z = 1 implies -2x + 6z - 15 + 4z = 1 implies -2x + 10z = 16 (Equação 7) na equação 3:
çã
E na equação 4:
çã

Passo 6

Agora temos o sistema com as equações 5, 6 e 7:
  1. 2x = 2 - z implies x = 2 - z2 \quad (Equação 5)
  2. -2(2 - z2) + 5z = 17 implies -(2 - z) + 5z = 17 implies -2 + z + 5z = 17 implies 6z = 19 implies z = 196 \quad (Equação 6)
  3. x = 2 - 1962 = 126 - 1962 = -76 times 12 = -712 \quad (Equação 7)
Vamos resolver da seguinte maneira:
Da equação 5, isolamos y = 2 times 196 - 5 = 386 - 306 = 86 = 43 :
Substituímos na equação 6:
Agora, encontramos :
E encontrando usando :

Resposta

Sim, a matriz -1 & 5 7 & 1 é uma combinação linear de x = -712, y = 43, z = 196 , e com os coeficientes:

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