Sejam A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C vértices de um triângulo de área igual a 2.
(b) Se o triângulo de vértices A, B e C é retângulo, então quantos possíveis pontos C existem satisfazendo todas as condições desta Questão (2)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: A = (1, 0, 2), B = (4, 6, 5) e C, que é o terceiro vértice de um triângulo com área igual a 2. A parte (b) da questão pede para descobrir quantos pontos C possíveis existem, de modo que o triângulo ABC seja retângulo e satisfaça essa área. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores, área de triângulos no espaço e propriedades de triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo no espaço usando vetores. Se temos dois vetores que formam o triângulo, a área é metade do módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Agora, como o triângulo ABC é retângulo, precisamos que o produto escalar de pelo menos dois vetores seja zero (indicando perpendicularidade). Então, temos três possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente para encontrar as coordenadas de C.
Passo 7
Caso 1: 3(x-1) + 6y + 3(z-2) = 0
Calculando o produto escalar:
3x -3 +6y +3z -6 = 0
3x +6y +3z = 9
x +2y +z = 3
Agora, temos duas equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos possíveis coordenadas para C.
Resolvendo esse sistema, encontramos as últimas coordenadas possíveis para C.
Passo 10
Depois de resolver os três casos, constatamos que existem quatro pontos C que satisfazem todas as condições da questão: manter a área igual a 2 e fazer com que o triângulo ABC seja retângulo.
Resposta
Existem quatro possíveis pontos C que satisfazem todas as condições da questão.