Sejam A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C vértices de um triângulo de área igual a 2.
(b) Se o triângulo de vértices A, B e C é retângulo, então quantos possíveis pontos C existem satisfazendo todas as condições desta Questão (2)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: A = (1, 0, 2), B = (4, 6, 5) e C, que é o terceiro vértice de um triângulo com área igual a 2. A parte (b) da questão pede para descobrir quantos pontos C possíveis existem, de modo que o triângulo ABC seja retângulo e satisfaça essa área. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores, área de triângulos no espaço e propriedades de triângulos retângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo no espaço usando vetores. Se temos dois vetores que formam o triângulo, a área é metade do módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Queremos que essa área seja igual a 2.
Passo 3
Vamos encontrar os vetores e . Sabendo que:
Passo 4
Calculamos o produto vetorial :
Calculando os determinantes:
Passo 5
O módulo desse vetor é:
E a área do triângulo é metade desse módulo, igual a 2:
Simplificando:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, como o triângulo ABC é retângulo, precisamos que o produto escalar de pelo menos dois vetores seja zero (indicando perpendicularidade). Então, temos três possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente para encontrar as coordenadas de C.
Passo 7
Caso 1:
Calculando o produto escalar:
Agora, temos duas equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos possíveis coordenadas para C.
Passo 8
Caso 2:
Primeiro, encontramos .
Calculando o produto escalar:
Então, temos:
Resolvendo esse sistema, encontramos outras possíveis coordenadas para C.
Passo 9
Caso 3:
Calculando o produto escalar:
Além disso, temos a equação da área:
Resolvendo esse sistema, encontramos as últimas coordenadas possíveis para C.
Passo 10
Depois de resolver os três casos, constatamos que existem quatro pontos C que satisfazem todas as condições da questão: manter a área igual a 2 e fazer com que o triângulo ABC seja retângulo.
Resposta
Existem quatro possíveis pontos C que satisfazem todas as condições da questão.