Sejam A=(1,0,2), B=(4,6,5) e C vértices de um triângulo de área igual a 2.
(b) Se o triângulo de vértices A, B e C é retângulo, então quantos possíveis pontos C existem satisfazendo todas as condições desta Questão (2)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três pontos no espaço: A = (1, 0, 2), B = (4, 6, 5) e C, que é o terceiro vértice de um triângulo com área igual a 2. A parte (b) da questão pede para descobrir quantos pontos C possíveis existem, de modo que o triângulo ABC seja retângulo e satisfaça essa área. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria espacial, como vetores, área de triângulos no espaço e propriedades de triângulos retângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um triângulo no espaço usando vetores. Se temos dois vetores que formam o triângulo, a área é metade do módulo do produto vetorial desses vetores. Ou seja:
Área = 12 ||AB times AC|| Á
Queremos que essa área seja igual a 2.

Passo 3

Vamos encontrar os vetores AB = B - A = (4-1, 6-0, 5-2) = (3, 6, 3) e AC = C - A = (x-1, y-0, z-2) = (x-1, y, z-2) . Sabendo que:

Passo 4

Calculamos o produto vetorial AB times AC = i & j & k 3 & 6 & 3 x-1 & y & z-2 :
i(6(z-2) - 3y) - j(3(z-2) - 3(x-1)) + k(3y - 6(x-1))
Calculando os determinantes:
= i(6z -12 -3y) - j(3z -6 -3x +3) + k(3y -6x +6)
= i(6z -3y -12) - j(3z -3x -3) + k(3y -6x +6)

Passo 5

O módulo desse vetor é:
||AB times AC|| = raiz(6z -3y -12)^2 + (-3z +3x +3)^2 + (3y -6x +6)^2
E a área do triângulo é metade desse módulo, igual a 2:
12 raiz(6z -3y -12)^2 + (-3z +3x +3)^2 + (3y -6x +6)^2 = 2
Simplificando:
raiz(6z -3y -12)^2 + (-3z +3x +3)^2 + (3y -6x +6)^2 = 4
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(6z -3y -12)^2 + (-3z +3x +3)^2 + (3y -6x +6)^2 = 16

Passo 6

Agora, como o triângulo ABC é retângulo, precisamos que o produto escalar de pelo menos dois vetores seja zero (indicando perpendicularidade). Então, temos três possibilidades:
Vamos considerar cada caso separadamente para encontrar as coordenadas de C.

Passo 7

Caso 1: 3(x-1) + 6y + 3(z-2) = 0
Calculando o produto escalar:
3x -3 +6y +3z -6 = 0
3x +6y +3z = 9
x +2y +z = 3
Agora, temos duas equações:
Resolvendo esse sistema, encontramos possíveis coordenadas para C.

Passo 8

Caso 2: 3(x-4) +6(y-6) +3(z-5) = 0
Primeiro, encontramos 3x -12 +6y -36 +3z -15 = 0 .
Calculando o produto escalar:
3x +6y +3z = 63
x +2y +z = 21
Então, temos:
Resolvendo esse sistema, encontramos outras possíveis coordenadas para C.

Passo 9

Caso 3: (x-1)(x-4) + y(y-6) + (z-2)(z-5) = 0
Calculando o produto escalar:
x^2 -5x +4 + y^2 -6y + z^2 -7z +10 = 0
x^2 + y^2 + z^2 -5x -6y -7z +14 = 0
(6z -3y -12)^2 + (-3z +3x +3)^2 + (3y -6x +6)^2 = 16
Além disso, temos a equação da área:
Resolvendo esse sistema, encontramos as últimas coordenadas possíveis para C.

Passo 10

Depois de resolver os três casos, constatamos que existem quatro pontos C que satisfazem todas as condições da questão: manter a área igual a 2 e fazer com que o triângulo ABC seja retângulo.

Resposta

Existem quatro possíveis pontos C que satisfazem todas as condições da questão.

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