Considere a transformação linear , definida por .
Mostre que é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O que a gente precisa mostrar é que essa transformação é um isomorfismo. Isso quer dizer que é uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou seja, ela tem uma inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Em , qualquer transformação linear pode ser escrita como uma matriz que multiplica um vetor. No nosso caso:
Essa matriz é formada pelos coeficientes de e nas expressões de .

Passo 3

Agora, para verificar se é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante da matriz .

Passo 4

O determinante de uma matriz 2x2 é dado por . Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação linear tem uma inversa.

Passo 6

Ter uma inversa significa que é tanto injetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por no máximo um elemento do espaço de entrada) quanto sobrejetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por pelo menos um elemento do espaço de entrada). Isso confirma que é um isomorfismo.

Resposta

A transformação linear é um isomorfismo porque a matriz associada a tem determinante diferente de zero ( ), garantindo que é invertível.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham. O conjunto de todas as matrizes da forma com as operações matriciais padrão de adição e multiplicação por escalar.
Sejam A=(0,2,1), B=(0,-1,1), C=(4,3,3) e D=(1,0,-1). Determine:
(b) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A C} \times \overrightarrow{A D})
Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de .
Considere o operador linear , definido por
Determine os autovalores e os autoespaços de .