Considere a transformação linear T: R^2 longrightarrow R^2, definida por T(x, y)=(3 x-5 y, x-2 y).
Mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O que a gente precisa mostrar é que essa transformação é um isomorfismo. Isso quer dizer que é uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou seja, ela tem uma inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T = 3 & -5 1 & -2 como uma matriz. Em , qualquer transformação linear pode ser escrita como uma matriz que multiplica um vetor. No nosso caso:
Essa matriz é formada pelos coeficientes de e nas expressões de .

Passo 3

Agora, para verificar se é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante da matriz .

Passo 4

O determinante de uma matriz 2x2 a & b c & d é dado por det(T) = (3)(-2) - (-5)(1) = -6 + 5 = -1 . Aplicando isso à nossa matriz:

Passo 5

Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação linear tem uma inversa.

Passo 6

Ter uma inversa significa que é tanto injetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por no máximo um elemento do espaço de entrada) quanto sobrejetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por pelo menos um elemento do espaço de entrada). Isso confirma que é um isomorfismo.

Resposta

A transformação linear é um isomorfismo porque a matriz associada a tem determinante diferente de zero ( ), garantindo que é invertível.

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