Considere a transformação linear
, definida por
.
Mostre que
é um isomorfismo.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear
definida por
. O que a gente precisa mostrar é que essa transformação é um isomorfismo. Isso quer dizer que
é uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou seja, ela tem uma inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear
como uma matriz. Em
, qualquer transformação linear pode ser escrita como uma matriz que multiplica um vetor. No nosso caso:
Essa matriz é formada pelos coeficientes de
e
nas expressões de
.
Passo 3
Agora, para verificar se
é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante da matriz
.
Passo 4
O determinante de uma matriz 2x2
é dado por
. Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
Como o determinante de
é
, que é diferente de zero, isso significa que a matriz
é invertível. Portanto, a transformação linear
tem uma inversa.
Passo 6
Ter uma inversa significa que
é tanto injetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por no máximo um elemento do espaço de entrada) quanto sobrejetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por pelo menos um elemento do espaço de entrada). Isso confirma que
é um isomorfismo.
Resposta
A transformação linear
é um isomorfismo porque a matriz associada a
tem determinante diferente de zero (
), garantindo que
é invertível.