Considere a transformação linear , definida por .
Mostre que é um isomorfismo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . O que a gente precisa mostrar é que essa transformação é um isomorfismo. Isso quer dizer que é uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora, ou seja, ela tem uma inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Em , qualquer transformação linear pode ser escrita como uma matriz que multiplica um vetor. No nosso caso:
Essa matriz é formada pelos coeficientes de e nas expressões de .
Passo 3
Agora, para verificar se é um isomorfismo, precisamos ver se essa matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante da matriz .
Passo 4
O determinante de uma matriz 2x2 é dado por . Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
Como o determinante de é , que é diferente de zero, isso significa que a matriz é invertível. Portanto, a transformação linear tem uma inversa.
Passo 6
Ter uma inversa significa que é tanto injetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por no máximo um elemento do espaço de entrada) quanto sobrejetora (cada elemento do espaço de saída é atingido por pelo menos um elemento do espaço de entrada). Isso confirma que é um isomorfismo.
Resposta
A transformação linear é um isomorfismo porque a matriz associada a tem determinante diferente de zero (), garantindo que é invertível.