Considere as transformações lineares T: R^2 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^3 dadas por
T(1,1)=(cc 1 & 2 1 & 0 ), T(0,-1)=(cc -1 & -2 0 & -1 ) e [S]gamma^beta=(cccc 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 )
Sejam alpha=(1,1),(0,-1) (base do R^2), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3).
Determine as dimensões do núcleo e da imagem de S.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas transformações lineares: que vai de para (matrizes 2x2 com números reais) e que vai de para . O que a gente precisa descobrir aqui são as dimensões do núcleo (ou seja, todos os vetores que são mapeados para o zero pela transformação) e da imagem (todos os vetores que podem ser obtidos a partir da transformação) da transformação . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como o de posto (rank) e nulidade (nullity) de uma matriz. Vamos precisar manipular a matriz que representa para encontrar essas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a dimensão da imagem de [S]gamma^beta = 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 é chamada de posto da matriz que representa , e a dimensão do núcleo de é a nulidade dessa matriz. Além disso, sabemos que para uma matriz de tamanho , a soma do posto e da nulidade é igual a (isso é conhecido como o Teorema da Dimensão).
No nosso caso, a matriz que representa é uma matriz 3x4:
Vamos determinar o posto dessa matriz, o que nos dará a dimensão da imagem de . Em seguida, podemos usar o Teorema da Dimensão para encontrar a nulidade, que é a dimensão do núcleo de .

Passo 3

Para encontrar o posto da matriz, precisamos determinar o número máximo de linhas linearmente independentes. Vamos fazer isso usando operações elementares de linha para reduzir a matriz a uma forma mais simples, chamada de forma escalonada.
Vamos começar com a matriz original:
0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1
  1. Primeiro pivô: Olhando a primeira coluna, vemos que o primeiro elemento não é o maior. Vamos trocar a terceira linha com a primeira para trazer um 1 para o topo:
1 & -1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1
  1. Zerar abaixo do primeiro pivô: Já que temos um 1 na posição (1,1), não há mais zeros abaixo dele, então seguimos para a próxima coluna.
  2. Segundo pivô: Na segunda coluna, já temos um 1 na segunda linha. Vamos usá-lo para zerar qualquer elemento abaixo dele, mas já está zero na terceira linha.
  3. Terceiro pivô: Na terceira coluna, o terceiro elemento já é 1 e não há mais linhas para zerar.
Agora, a matriz está na forma escalonada:
1 & -1 & -1 & -1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1
Cada linha não nula tem um pivô, e como não há linhas de zeros, o posto da matriz é 3.

Resposta

A dimensão do núcleo de é 1 e a dimensão da imagem de é 3.

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