Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem duas transformações lineares:
Transformação : Vai de pra matrizes 2x2 com números reais, .
Transformação : Vai de pra .
A gente também tem algumas bases definidas:
para .
é a base canônica para .
para .
O que a gente precisa encontrar são:
A matriz da transformação na base e , denotada .
A matriz da composição das transformações na base e , denotada .
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e como compor essas transformações.
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz .
O que significa ?
Essa notação representa a matriz de com as colunas representando as imagens dos vetores da base expressas na base .
Como fazer isso?
Encontrar as imagens dos vetores de pela transformação :
Expressar essas imagens na base (base canônica):
Como é a base canônica de , cada matriz já está expressa em termos dessa base. Ou seja, as coordenadas são os próprios elementos das matrizes.
Construir a matriz :
Colocamos as imagens como colunas na matriz .
Então, temos:
Passo 3
Agora vamos encontrar a matriz da composição .
O que significa ?
Essa notação representa a matriz da transformação composta com as colunas representando as imagens dos vetores da base expressas na base .
Como fazer isso?
Já temos da última etapa:
Temos a matriz fornecida no enunciado:
Para encontrar , fazemos a multiplicação das matrizes e :