Sejam alpha=(1,1),(0,-1) (base do R^2), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3).
Determine [T]beta^alpha e [S circ T]gamma^alpha.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem duas transformações lineares:
Transformação : Vai de pra matrizes 2x2 com números reais, .
Transformação : Vai de pra .
A gente também tem algumas bases definidas:
para .
é a base canônica para .
para .
O que a gente precisa encontrar são:
A matriz da transformação na base e , denotada .
A matriz da composição das transformações na base e , denotada .
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e como compor essas transformações.
Passo 2
Vamos começar encontrando a matriz 1 & 2 1 & 0 .
O que significa -1 & -2 0 & -1 ?
Essa notação representa a matriz de [T]beta^alpha = 1 & -1 2 & -2 1 & 0 0 & -1 com as colunas representando as imagens dos vetores da base expressas na base .
Como fazer isso?
Encontrar as imagens dos vetores de pela transformação :
Expressar essas imagens na base (base canônica):
Como é a base canônica de , cada matriz já está expressa em termos dessa base. Ou seja, as coordenadas são os próprios elementos das matrizes.
Construir a matriz :
Colocamos as imagens como colunas na matriz .