Considere as transformações lineares e dadas por
Sejam (base do a base canônica do e (base do .
Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem duas transformações lineares:
  1. Transformação : Vai de pra matrizes 2x2 com números reais, .
  2. Transformação : Vai de pra .
A gente também tem algumas bases definidas:
  • para .
  • é a base canônica para .
  • para .
O que a gente precisa encontrar são:
  1. A matriz da transformação na base e , denotada .
  2. A matriz da composição das transformações na base e , denotada .
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e como compor essas transformações.

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz .
O que significa ?
Essa notação representa a matriz de com as colunas representando as imagens dos vetores da base expressas na base .
Como fazer isso?
  1. Encontrar as imagens dos vetores de pela transformação :
  2. Expressar essas imagens na base (base canônica):
    Como é a base canônica de , cada matriz já está expressa em termos dessa base. Ou seja, as coordenadas são os próprios elementos das matrizes.
  3. Construir a matriz :
    Colocamos as imagens como colunas na matriz .
Então, temos:

Passo 3

Agora vamos encontrar a matriz da composição .
O que significa ?
Essa notação representa a matriz da transformação composta com as colunas representando as imagens dos vetores da base expressas na base .
Como fazer isso?
  1. Já temos da última etapa:
  1. Temos a matriz fornecida no enunciado:
  1. Para encontrar , fazemos a multiplicação das matrizes e :
Vamos multiplicar as matrizes:
Calculando cada entrada:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então, a matriz resultante é:

Resposta

A matriz da transformação é
e a matriz da composição é

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