Considere as transformações lineares T: R^2 longrightarrow M2(R) e S: M2(R) longrightarrow R^3 dadas por
T(1,1)=(cc 1 & 2 1 & 0 ), T(0,-1)=(cc -1 & -2 0 & -1 ) e [S]gamma^beta=(cccc 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 )
Sejam alpha=(1,1),(0,-1) (base do R^2), beta a base canônica do M2(R) e gamma=(1,0,1),(1,1,0),(1,0,0) (base do R^3).
Determine [T]beta^alpha e [S circ T]gamma^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem duas transformações lineares:
  1. Transformação : Vai de pra matrizes 2x2 com números reais, .
  2. Transformação : Vai de pra .
A gente também tem algumas bases definidas:
  • para .
  • é a base canônica para .
  • para .
O que a gente precisa encontrar são:
  1. A matriz da transformação na base e , denotada .
  2. A matriz da composição das transformações na base e , denotada .
Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como representar transformações lineares em diferentes bases e como compor essas transformações.

Passo 2

Vamos começar encontrando a matriz 1 & 2 1 & 0 .
O que significa -1 & -2 0 & -1 ?
Essa notação representa a matriz de [T]beta^alpha = 1 & -1 2 & -2 1 & 0 0 & -1 com as colunas representando as imagens dos vetores da base expressas na base .
Como fazer isso?
  1. Encontrar as imagens dos vetores de pela transformação :
  2. Expressar essas imagens na base (base canônica):
    Como é a base canônica de , cada matriz já está expressa em termos dessa base. Ou seja, as coordenadas são os próprios elementos das matrizes.
  3. Construir a matriz :
    Colocamos as imagens como colunas na matriz .
Então, temos:

Passo 3

Agora vamos encontrar a matriz da composição [T]beta^alpha = 1 & -1 2 & -2 1 & 0 0 & -1 .
O que significa [S]gamma^beta = 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 ?
Essa notação representa a matriz da transformação composta [S circ T]gamma^alpha = [S]gamma^beta cdot [T]beta^alpha com as colunas representando as imagens dos vetores da base [S circ T]gamma^alpha = 0 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & -1 & -1 cdot 1 & -1 2 & -2 1 & 0 0 & -1 expressas na base 0 cdot 1 + 0 cdot 2 + 1 cdot 1 + 1 cdot 0 = 1 .
Como fazer isso?
  1. Já temos 0 cdot (-1) + 0 cdot (-2) + 1 cdot 0 + 1 cdot (-1) = -1 da última etapa:
0 cdot 1 + 1 cdot 2 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 2
  1. Temos a matriz 0 cdot (-1) + 1 cdot (-2) + 0 cdot 0 + 0 cdot (-1) = -2 fornecida no enunciado:
1 cdot 1 + (-1) cdot 2 + (-1) cdot 1 + (-1) cdot 0 = 1 - 2 - 1 = -2
  1. Para encontrar 1 cdot (-1) + (-1) cdot (-2) + (-1) cdot 0 + (-1) cdot (-1) = -1 + 2 + 0 + 1 = 2 , fazemos a multiplicação das matrizes [S circ T]gamma^alpha = 1 & -1 2 & -2 -2 & 2 e :
Vamos multiplicar as matrizes:
Calculando cada entrada:
  • Primeira linha:
  • Segunda linha:
  • Terceira linha:
Então, a matriz resultante é:

Resposta

A matriz da transformação [T]beta^alpha = 1 & -1 2 & -2 1 & 0 0 & -1 é
[S circ T]gamma^alpha = 1 & -1 2 & -2 -2 & 2
e a matriz da composição é

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