Sejam A, B e C pontos em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo (não genérico, isto é, com valores reais totalmente determinados) de uma terna de pontos A, B e C que não satisfaz o enunciado.
(a) Se \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A C}, então C=B ou |C|=|B|.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Temos três pontos , e no espaço tridimensional . A afirmação a ser verificada é:
Se , então ou .
Para resolver esse exercício, precisamos entender conceitos de vetores no espaço, especialmente sobre igualdade de vetores e normas vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa .
O vetor representa o vetor que vai de até , e vai de até .
Se , isso significa que ambos os vetores têm a mesma direção e módulo, ou seja, são vetores iguais.

Passo 3

Matematicamente, implica que:
Isso mostra que, se dois vetores a partir do mesmo ponto são iguais, então os pontos de chegada são iguais.

Passo 4

Portanto, se , necessariamente .
Agora, vamos verificar a segunda parte da afirmação: .
Se , então claramente , pois são o mesmo ponto.

Passo 5

No entanto, a questão apresenta uma disjunção: ou ou .
Mas, como vimos, implica sempre , o que automaticamente garante .
Portanto, a segunda condição é redundante nessa situação.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se , então necessariamente e, consequentemente, .

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então os vectores são linearmente independentes.
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(a) A projeção ortogonal do vetor \overrightarrow{A B} sobre o vetor \overrightarrow{A D}