Considere o operador linear tal que sua matriz em relação à base canônica é dada por:
(a) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os autovetores desse operador T.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador linear que está representado por uma matriz específica. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes, equações características e sistemas lineares. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de [T] = 1 & -1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 . Esse polinômio é obtido calculando o determinante da matriz [T] - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 & 0 0 & -1 - lambda & 1 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & -1 - lambda , onde é um escalar e é a matriz identidade.
A matriz de é:
Então, fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico: