Considere o operador linear T: R^4 longrightarrow R^4 tal que sua matriz em relação à base canônica alpha é dada por:
[T]alpha^alpha=(cccc 1 & -1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 )
(a) Calcule o polinômio característico, os autovalores e os autovetores desse operador T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente precisa calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores do operador linear que está representado por uma matriz específica. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes, equações características e sistemas lineares. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico de [T] = 1 & -1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & -1 . Esse polinômio é obtido calculando o determinante da matriz [T] - lambda I = 1 - lambda & -1 & 0 & 0 0 & -1 - lambda & 1 & 0 0 & 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & 0 & -1 - lambda , onde é um escalar e é a matriz identidade.
A matriz de é:
Então, fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para obter o polinômio característico:
det([T] - lambda I) = (1 - lambda) times det -1 - lambda & 1 & 0 0 & 1 - lambda & 0 0 & 0 & -1 - lambda
Como a matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal:
det([T] - lambda I) = (1 - lambda) times (-1 - lambda) times (1 - lambda) times (-1 - lambda)
Simplificando:
det([T] - lambda I) = (1 - lambda)^2 times (-1 - lambda)^2 = (lambda - 1)^2 (lambda + 1)^2
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = (lambda - 1)^2 (lambda + 1)^2

Passo 4

Com o polinômio característico em mãos, vamos encontrar os autovalores resolvendo (lambda - 1)^2 (lambda + 1)^2 = 0 :
lambda - 1 = 0 Rightarrow lambda = 1
Isso nos dá duas soluções:
lambda + 1 = 0 Rightarrow lambda = -1
Portanto, os autovalores de são e , cada um com multiplicidade 2.

Passo 5

Agora vamos encontrar os autovetores para cada autovalor. Para isso, resolvemos o sistema 0 & -1 & 0 & 0 0 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -2 v1 v2 v3 v4 = 0 0 0 0 , onde v1 0 0 0 é o autovetor.
Para 2 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 v4 = 0 0 0 0 :
Substituindo na matriz v1 2v1 0 v4 :
Isso nos dá as equações:
  1. (sem informação)
Assim, qualquer vetor do tipo é um autovetor para .
Para :
Substituindo na matriz :
Isso nos dá as equações:
  1. (sem informação)
Assim, qualquer vetor do tipo é um autovetor para , onde e são livres.

Resposta

  • Polinômio característico: v1 0 0 0
  • Autovalores: v1 2v1 0 v4 e , cada um com multiplicidade 2.
  • Autovetores:
    • Para : vetores da forma .
    • Para : vetores da forma , onde e são números reais quaisquer.

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