E m P2(R) com o produto interno definido por:
a) Ortonormalizar a base 1,1+t, 2 t^2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente ortonormalizar a base no espaço com o produto interno definido por . Isso significa que vamos transformar essa base em uma base onde os vetores (funções) sejam ortogonais entre si e cada um tenha norma 1. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt e depois normalizar cada função.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para tornar as funções ortogonais. Começamos com .

Passo 3

Agora, pegamos a segunda função u2' = u2 - lang<= u2, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 e subtraímos a projeção dela sobre lang<= u2, u1 rang<= = integral0^1 (1 + t)(1) dt = integral0^1 (1 + t) dt = 1 + 12 = 32 :
lang<= u1, u1 rang<= = integral0^1 1 cdot 1 dt = 1
Calculando os produtos internos:
u2' = (1 + t) - 32(1) = t - 12
Então:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo com a terceira função u3' = u3 - lang<= u3, u1 rang<=lang<= u1, u1 rang<= u1 - lang<= u3, u2' rang<=lang<= u2', u2' rang<= u2' . Primeiro, subtraímos as projeções sobre lang<= u3, u1 rang<= = integral0^1 2t^2 cdot 1 dt = 23 e lang<= u3, u2' rang<= = integral0^1 2t^2 (t - 12) dt = 2 ( 14 - 16 ) = 212 = 16 :
lang<= u2', u2' rang<= = integral0^1 (t - 12)^2 dt = integral0^1 t^2 - t + 14 dt = 13 - 12 + 14 = 112
Calculando os produtos internos:
u3' = 2t^2 - 23(1) - 16112 (t - 12) = 2t^2 - 23 - 2 (t - 12) = 2t^2 - 2t + 13
Então:

Passo 5

Agora que temos as funções ortogonais , e , vamos normalizar cada uma delas para que tenham norma 1. A normalização é feita dividindo cada função pela sua norma, que é a raiz quadrada do produto interno consigo mesma.

Passo 6

Calculando as normas:
|u1| = raizlang<= u1, u1 rang<= = raiz1 = 1
|u2'| = raizlang<= u2', u2' rang<= = raiz112 = 12raiz3
|u3'| = raizlang<= u3', u3' rang<= = raizintegral0^1 (2t^2 - 2t + 13)^2 dt = raiz245 = raiz23raiz5

Passo 7

Agora, normalizamos cada função dividindo pelo seu respectivo norma:
e1 = u1|u1| = 1
e2 = u2'|u2'| = (t - 12) cdot 2raiz3 = 2raiz3(t - 12)
e3 = u3'|u3'| = (2t^2 - 2t + 13) cdot 3raiz5raiz2 = 3raiz5raiz2(2t^2 - 2t + 13)

Resposta

A base ortonormalizada é:
, 1,; 2raiz3(t - 12),; 3raiz5raiz2(2t^2 - 2t + 13) ,

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