com o produto interno definido por:
a) Ortonormalizar a base
;
a) Ortonormalizar a base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente ortonormalizar a base
no espaço
com o produto interno definido por
. Isso significa que vamos transformar essa base em uma base onde os vetores (funções) sejam ortogonais entre si e cada um tenha norma 1. Para isso, vamos usar o processo de Gram-Schmidt e depois normalizar cada função.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt para tornar as funções ortogonais. Começamos com
.
Passo 3
Agora, pegamos a segunda função
e subtraímos a projeção dela sobre
:
Calculando os produtos internos:
Então:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo com a terceira função
. Primeiro, subtraímos as projeções sobre
e
:
Calculando os produtos internos:
Então:
Passo 5
Agora que temos as funções ortogonais
,
e
, vamos normalizar cada uma delas para que tenham norma 1. A normalização é feita dividindo cada função pela sua norma, que é a raiz quadrada do produto interno consigo mesma.
Passo 6
Calculando as normas:
Passo 7
Agora, normalizamos cada função dividindo pelo seu respectivo norma:
Resposta
A base ortonormalizada é: