Seja V um espaço euclidiano. Se u in V, W=[u] e E é a transformação linear que associa a cada vetor de V sua projeção ortogonal sobre W, mostre que:
|v-E(v)| <=|v-w|, forall v in V e forall w in W
Interpretar geometricamente esse resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, em um espaço euclidiano , a distância entre um vetor e sua projeção ortogonal sobre a subespaço é sempre menor ou igual à distância entre e qualquer outro vetor que esteja em . Além disso, precisamos interpretar isso de forma geométrica. Para resolver, vamos usar conceitos de projeção ortogonal e propriedades de normas em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projeção ortogonal. Dada uma transformação linear que projeta vetores de sobre , para qualquer vetor em , é o vetor em mais próximo de . Isso significa que a diferença é perpendicular a .

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das projeções ortogonais: a projeção minimiza a distância para todo em . Ou seja, entre todos os vetores em , a projeção é a que está mais próxima de .

Passo 4

Para formalizar isso, vamos usar a definição de norma e a propriedade da projeção. Sabemos que:
|v - E(v)| <= |v - w|
para todo . Isso acontece porque qualquer outra escolha de em resultaria em uma distância maior ou igual à distância minimizada pela projeção .

Passo 5

Vamos agora provar a desigualdade. Sabemos que E(v) = lang<= v, u rang<=lang<= u, u rang<= u é a reta gerada pelo vetor . A projeção pode ser calculada usando:
Onde representa o produto interno. A diferença é então perpendicular a , o que implica que qualquer outro não pode estar mais próximo de do que .

Passo 6

Portanto, concluímos que a norma da diferença entre e sua projeção é menor ou igual à norma da diferença entre e qualquer outro vetor em .

Resposta

|v - E(v)| <= |v - w|, forall v in V e forall w in W

Interpretação Geométrica

Geometricamente, isso significa que a projeção ortogonal de sobre é o ponto de que está mais próximo de . Imagine como uma linha no espaço; a projeção é o ponto nessa linha que minimiza a distância até . Qualquer outro ponto na linha estará, pelo menos, na mesma distância ou mais distante de .

Exercícios relacionados