Seja
um espaço euclidiano. Se
e
é a transformação linear que associa a cada vetor de V sua projeção ortogonal sobre W, mostre que:
Interpretar geometricamente esse resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que, em um espaço euclidiano
, a distância entre um vetor
e sua projeção ortogonal sobre a subespaço
é sempre menor ou igual à distância entre
e qualquer outro vetor
que esteja em
. Além disso, precisamos interpretar isso de forma geométrica. Para resolver, vamos usar conceitos de projeção ortogonal e propriedades de normas em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa projeção ortogonal. Dada uma transformação linear
que projeta vetores de
sobre
, para qualquer vetor
em
,
é o vetor em
mais próximo de
. Isso significa que a diferença
é perpendicular a
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma propriedade importante das projeções ortogonais: a projeção
minimiza a distância
para todo
em
. Ou seja, entre todos os vetores em
, a projeção é a que está mais próxima de
.
Passo 4
Para formalizar isso, vamos usar a definição de norma e a propriedade da projeção. Sabemos que:
para todo
. Isso acontece porque qualquer outra escolha de
em
resultaria em uma distância maior ou igual à distância minimizada pela projeção
.
Passo 5
Vamos agora provar a desigualdade. Sabemos que
é a reta gerada pelo vetor
. A projeção
pode ser calculada usando:
Onde
representa o produto interno. A diferença
é então perpendicular a
, o que implica que qualquer outro
não pode estar mais próximo de
do que
.
Passo 6
Portanto, concluímos que a norma da diferença entre
e sua projeção
é menor ou igual à norma da diferença entre
e qualquer outro vetor
em
.
Resposta
Interpretação Geométrica
Geometricamente, isso significa que a projeção ortogonal de
sobre
é o ponto de
que está mais próximo de
. Imagine
como uma linha no espaço; a projeção é o ponto nessa linha que minimiza a distância até
. Qualquer outro ponto na linha estará, pelo menos, na mesma distância ou mais distante de
.