Considere um organismo cuja forma se aproxima de um cilíndrico oco, de raio interno ri e raio externo re. Na região que corresponde à parede do cilindro, ocorre respiração a uma taxa volumétrica uniforme RA=-k0. Isto é, o consumo de oxigênio (espécie A) é governado por uma reação química homogênea de ordem zero. Se uma concentração molar de CA(re)=CA, e for mantida na superfície externa do organismo, e uma concentração molar CA(ri)=CA, i na superfície interna, obtenha uma expressão para a distribuição radial do oxigênio, CA(r), na região;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro oco com raio interno e raio externo . Na parede desse cilindro, ocorre respiração, ou seja, o oxigênio está sendo consumido a uma taxa volumétrica constante . Queremos encontrar como a concentração de oxigênio varia radialmente entre e .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de massa em coordenadas cilíndricas e aplicar a reação química de ordem zero na parede do cilindro. Vamos passo a passo.

Passo 2

Vamos considerar que o sistema está em regime estacionário, ou seja, a concentração de oxigênio não muda com o tempo. Em coordenadas cilíndricas com simetria radial, a equação de conservação para a espécie A (oxigênio) é:
1r ddr ( r dCAdr ) = -RADA
Aqui, é o coeficiente de difusão do oxigênio.

Passo 3

Sabemos que 1r ddr ( r dCAdr ) = k0DA , então substituindo na equação:
Agora, vamos resolver essa equa�o diferencial.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por ddr ( r dCAdr ) = k0DA r :
r dCAdr = k02DA r^2 + C1
Integrando em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por dCAdr = k02DA r + C1r :
CA(r) = k04DA r^2 + C1 ln(r) + C2
Integrando novamente em relação a :
onde é outra constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar CA(re) = CA,e e CA(ri) = CA,i .
  1. Na superfície externa :
  1. Na superfície interna :

Passo 7

Substituindo as condições de contorno na solução geral:
CA,e = k04DA re^2 + C1 ln(re) + C2
CA,i = k04DA ri^2 + C1 ln(ri) + C2
Subtraindo as duas equações para eliminar CA,e - CA,i = k04DA (re^2 - ri^2) + C1 (ln(re) - ln(ri)) :

Passo 8

Resolvendo para C1 = CA,e - CA,i - k04DA (re^2 - ri^2)ln(reri) :

Passo 9

Agora, substituímos C2 = CA,e - k04DA re^2 - C1 ln(re) em uma das equações de contorno para encontrar . Usando a primeira equação:

Passo 10

Finalmente, substituímos CA(r) = k04DA r^2 + CA,e - CA,i - k04DA (re^2 - ri^2)ln(reri) ln(r) + ( CA,e - k04DA re^2 - CA,e - CA,i - k04DA (re^2 - ri^2)ln(reri) ln(re) ) e na solução geral para obter a expressão da concentração radial :

Resposta

A distribuição radial do oxigênio é dada por:
CA(r) = k04DA r^2 + CA,e - CA,i - k04DA (re^2 - ri^2)ln(reri) ln(rri) + CA,i

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