Considere um organismo cuja forma se aproxima de um cilíndrico oco, de raio interno ri e raio externo re. Na região que corresponde à parede do cilindro, ocorre respiração a uma taxa volumétrica uniforme
. Isto é, o consumo de oxigênio (espécie A) é governado por uma reação química homogênea de ordem zero. Se uma concentração molar de
for mantida na superfície externa do organismo, e uma concentração molar
na superfície interna, obtenha uma expressão para a distribuição radial do oxigênio,
, na região;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro oco com raio interno
e raio externo
. Na parede desse cilindro, ocorre respiração, ou seja, o oxigênio está sendo consumido a uma taxa volumétrica constante
. Queremos encontrar como a concentração de oxigênio
varia radialmente entre
e
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de massa em coordenadas cilíndricas e aplicar a reação química de ordem zero na parede do cilindro. Vamos passo a passo.
Passo 2
Vamos considerar que o sistema está em regime estacionário, ou seja, a concentração de oxigênio não muda com o tempo. Em coordenadas cilíndricas com simetria radial, a equação de conservação para a espécie A (oxigênio) é:
Aqui,
é o coeficiente de difusão do oxigênio.
Passo 3
Sabemos que
, então substituindo na equação:
Agora, vamos resolver essa equa�o diferencial.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
:
Integrando em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
Integrando novamente em relação a
:
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para encontrar
e
.
- Na superfície externa
:
- Na superfície interna
:
Passo 7
Substituindo as condições de contorno na solução geral:
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, substituímos
em uma das equações de contorno para encontrar
. Usando a primeira equação:
Passo 10
Finalmente, substituímos
e
na solução geral para obter a expressão da concentração radial
:
Resposta
A distribuição radial do oxigênio é dada por: