Dois líquidos newtonianos imiscíveis escoam em regime permanente entre duas placas paralelas grandes sob a influência de um gradiente de pressão aplicado. A placa inferior é fixa, mas a placa superior é puxada com uma velocidade constante de U=10 m / s. A espessura h de cada camada de fluido é de 0,5 m. Os perfis de velocidades em ambas as camadas são dados por:
V1=b+c y-9 y^2, 0 <= y <= 0,5
V2=6+a y-3 y^2, -0,5 <= y <= 0
R10a: a=10,5 ; b=6 ; c=12,5
onde a, b e c são constantes.
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades mu1 / mu2
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se mu1=10^-3 Pa.s e cada placa tem uma área superficial de 4 m^2.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois líquidos newtonianos que não se misturam e estão fluindo entre duas placas paralelas. A placa de baixo está fixa, e a de cima está se movendo com uma velocidade constante de V1 = b + c y - 9 y^2, 0 <= y <= 0,5 . Cada camada de fluido tem uma espessura de V2 = 6 + a y - 3 y^2, -0,5 <= y <= 0 . As velocidades dos fluidos são dadas pelas equações:
Precisamos encontrar os valores das constantes , e . Para isso, vamos usar as condições de contorno e a continuidade das velocidades nas interfaces dos fluidos.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar as condições de contorno. Na placa fixa (y = -0,5 m), a velocidade do fluido V2 = 6 + a(-0,5) - 3(-0,5)^2 = 0 deve ser zero, pois a placa não está se movendo. Então, substituímos 6 - 0,5a - 0,75 = 0 Rightarrow 5,25 - 0,5a = 0 Rightarrow a = 5,250,5 = 10,5 na equação de :
Simplificando:

Passo 3

Agora, consideramos a condição na placa superior (y = 0,5 m). A velocidade do fluido V1 = b + c(0,5) - 9(0,5)^2 = 10 deve ser igual à velocidade da placa, que é b + 0,5c - 2,25 = 10 Rightarrow b + 0,5c = 12,25 (Equação 1) . Substituímos na equação de :
Simplificando:
çã

Passo 4

Além disso, na interface entre os dois fluidos (y = 0), as velocidades devem ser contínuas. Então, b + c(0) - 9(0)^2 = 6 + a(0) - 3(0)^2 Rightarrow b = 6 quando :

Passo 5

Agora que já temos 6 + 0,5c = 12,25 Rightarrow 0,5c = 6,25 Rightarrow c = 12,5 e , substituímos na Equação 1 para encontrar :

Resposta

As constantes são:
a = 10,5; b = 6; c = 12,5

Exercícios relacionados