Dois líquidos newtonianos imiscíveis escoam em regime permanente entre duas placas paralelas grandes sob a influência de um gradiente de pressão aplicado. A placa inferior é fixa, mas a placa superior é puxada com uma velocidade constante de
. A espessura h de cada camada de fluido é de
. Os perfis de velocidades em ambas as camadas são dados por:
onde a, b e c são constantes.
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se
Pa.s e cada placa tem uma área superficial de
.
a) Determine os valores das constantes a, b e c.
b) Obtenha uma expressão para a relação entre as viscosidades
c) Determine a magnitude e a direção das forças exercidas pelo fluido sobre ambas as placas se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos dois líquidos newtonianos que não se misturam e estão fluindo entre duas placas paralelas. A placa de baixo está fixa, e a de cima está se movendo com uma velocidade constante de
. Cada camada de fluido tem uma espessura de
. As velocidades dos fluidos são dadas pelas equações:
Precisamos encontrar os valores das constantes
,
e
. Para isso, vamos usar as condições de contorno e a continuidade das velocidades nas interfaces dos fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar as condições de contorno. Na placa fixa (y = -0,5 m), a velocidade do fluido
deve ser zero, pois a placa não está se movendo. Então, substituímos
na equação de
:
Simplificando:
Passo 3
Agora, consideramos a condição na placa superior (y = 0,5 m). A velocidade do fluido
deve ser igual à velocidade da placa, que é
. Substituímos
na equação de
:
Simplificando:
Passo 4
Além disso, na interface entre os dois fluidos (y = 0), as velocidades devem ser contínuas. Então,
quando
:
Passo 5
Agora que já temos
e
, substituímos
na Equação 1 para encontrar
:
Resposta
As constantes são: