Como o vetor de estado normalizado |psi(0)rang<= é definido a menos de um fator de fase global, fixamos este valor escolhendo c0 real e positivo. Fazemos: c1=|c1| e^i theta1. Assumimos que lang<= Hrang<==hbar omega e que
lang<= Xrang<==12 raizhbarm omega
Calcule theta1
Resposta: cos theta1=1raiz2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor de estado quântico |psi(0)rang<= que está normalizado e definido a menos de um fator de fase global. A gente fixou esse fator escolhendo c0 como real e positivo. Também sabemos que c1 pode ser escrito como c1 = |c1| e^i theta1. Além disso, nos dão as expectativas de energia lang<= H rang<= = hbar omega e de posição lang<= X rang<= = 12 raizhbarm omega. O conteúdo aqui envolve mecânica quântica, especificamente estados quânticos e expectativas de observáveis. Vamos precisar usar a definição de expectativas e propriedades dos estados normalizados para encontrar o valor de theta1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor de estado |psi(0)rang<= pode ser escrito como uma combinação linear dos estados base, por exemplo:
|psi(0)rang<= = c0 |0rang<= + c1 |1rang<=
Onde |0rang<= e |1rang<= são os estados próprios do Hamiltoniano H com energias E0 e E1, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que o estado está normalizado, ou seja:
|c0|^2 + |c1|^2 = 1
Como escolhemos c0 real e positivo, podemos escrever c0 = raiz1 - |c1|^2.

Passo 4

A expectativa do Hamiltoniano é dada por:
lang<= H rang<= = |c0|^2 E0 + |c1|^2 E1 = hbar omega
Para simplificar, vamos assumir que E0 = 12 hbar omega e E1 = 32 hbar omega, que são as energias dos estados harmônicos quânticos.

Passo 5

Substituindo os valores de E0 e E1 na equação da expectativa:
(1 - |c1|^2) 12 hbar omega + |c1|^2 32 hbar omega = hbar omega
Simplificando:
12 hbar omega - 12 |c1|^2 hbar omega + 32 |c1|^2 hbar omega = hbar omega
12 hbar omega + |c1|^2 hbar omega = hbar omega
|c1|^2 = 12
Portanto, |c1| = 1raiz2.

Passo 6

Agora, vamos calcular a expectativa de posição lang<= X rang<=. Para isso, usamos:
lang<= X rang<= = lang<= psi(0)| X |psi(0)rang<=
Sabemos que no estado |psi(0)rang<= = c0|0rang<= + c1|1rang<=, a matriz de posição X tem elementos não nulos apenas para a transição entre |0rang<= e |1rang<=.

Passo 7

A matriz de X nesse subespaço é:
X = raizhbar2 m omega 0 & 1 1 & 0
Então, a expectativa fica:
lang<= X rang<= = 2 cdot Re(c0^* c1) raizhbar2 m omega = 12 raizhbarm omega

Passo 8

Sabemos que c0 é real e positivo, então c0 = raiz1 - |c1|^2 = 1raiz2. Assim:
2 cdot c0 c1 raizhbar2 m omega = 12 raizhbarm omega
Simplificando:
2 cdot 1raiz2 cdot 1raiz2 e^i theta1 raizhbar2 m omega = 12 raizhbarm omega
11 e^i theta1 raizhbar2 m omega = 12 raizhbarm omega

Passo 9

Dividindo ambos os lados por raizhbar2 m omega:
e^i theta1 = 1raiz2
Isso implica que:
cos theta1 = 1raiz2

Resposta

cos theta1 = 1raiz2

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