Como o vetor de estado normalizado
é definido a menos de um fator de fase global, fixamos este valor escolhendo
real e positivo. Fazemos:
. Assumimos que
e que
Calcule
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um vetor de estado quântico
que está normalizado e definido a menos de um fator de fase global. A gente fixou esse fator escolhendo
como real e positivo. Também sabemos que
pode ser escrito como
. Além disso, nos dão as expectativas de energia
e de posição
. O conteúdo aqui envolve mecânica quântica, especificamente estados quânticos e expectativas de observáveis. Vamos precisar usar a definição de expectativas e propriedades dos estados normalizados para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor de estado
pode ser escrito como uma combinação linear dos estados base, por exemplo:
Onde
e
são os estados próprios do Hamiltoniano
com energias
e
, respectivamente.
Passo 3
Sabemos que o estado está normalizado, ou seja:
Como escolhemos
real e positivo, podemos escrever
.
Passo 4
A expectativa do Hamiltoniano é dada por:
Para simplificar, vamos assumir que
e
, que são as energias dos estados harmônicos quânticos.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na equação da expectativa:
Simplificando:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a expectativa de posição
. Para isso, usamos:
Sabemos que no estado
, a matriz de posição
tem elementos não nulos apenas para a transição entre
e
.
Passo 7
A matriz de
nesse subespaço é:
Então, a expectativa fica:
Passo 8
Sabemos que
é real e positivo, então
. Assim:
Simplificando:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
:
Isso implica que: