Como o vetor de estado normalizado é definido a menos de um fator de fase global, fixamos este valor escolhendo real e positivo. Fazemos: . Assumimos que e que
Calcule
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um vetor de estado quântico que está normalizado e definido a menos de um fator de fase global. A gente fixou esse fator escolhendo como real e positivo. Também sabemos que pode ser escrito como . Além disso, nos dão as expectativas de energia e de posição . O conteúdo aqui envolve mecânica quântica, especificamente estados quânticos e expectativas de observáveis. Vamos precisar usar a definição de expectativas e propriedades dos estados normalizados para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor de estado pode ser escrito como uma combinação linear dos estados base, por exemplo:
Onde e são os estados próprios do Hamiltoniano com energias e , respectivamente.

Passo 3

Sabemos que o estado está normalizado, ou seja:
Como escolhemos real e positivo, podemos escrever .

Passo 4

A expectativa do Hamiltoniano é dada por:
Para simplificar, vamos assumir que e , que são as energias dos estados harmônicos quânticos.

Passo 5

Substituindo os valores de e na equação da expectativa:
Simplificando:
Portanto, .

Passo 6

Agora, vamos calcular a expectativa de posição . Para isso, usamos:
Sabemos que no estado , a matriz de posição tem elementos não nulos apenas para a transição entre e .

Passo 7

A matriz de nesse subespaço é:
Então, a expectativa fica:

Passo 8

Sabemos que é real e positivo, então . Assim:
Simplificando:

Passo 9

Dividindo ambos os lados por :
Isso implica que:

Resposta

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Resposta:
Questāo
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