Construa as matrizes que representam os operadores X e P na base |varphinrang<=. Utilizando estas matrizes, construa a matriz que representa o operador Hamiltoniano para o oscilador harmônico (a matriz que representa H na base |varphinrang<= é diagonal, com os autovalores de energia sendo os elementos da diagonal principal)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente construir as matrizes dos operadores e na base , que é a base dos estados próprios do oscilador harmônico. Depois, com essas matrizes, temos que montar a matriz do operador Hamiltoniano nessa mesma base. Para resolver isso, precisamos entender como os operadores e se relacionam com os operadores de criação e aniquilação, e como eles atuam na base dos estados próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no oscilador harmônico quântico, os operadores de posição X = raizhbar2momega ( a + a^dag>=r ) e momento P = iraizhbar m omega2 ( a^dag>=r - a ) podem ser expressos em termos dos operadores de criação e de aniquilação . As fórmulas são:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a frequência do oscilador.

Passo 3

Agora, vamos ver como os operadores a |varphinrang<= = raizn |varphin-1rang<= e a^dag>=r |varphinrang<= = raizn+1 |varphin+1rang<= atuam na base :
Isso significa que “desce” o estado para , e “sobe” para .

Passo 4

Com essas relações, podemos construir as matrizes de X = raizhbar2momega 0 & raiz1 & 0 & 0 & cdots raiz1 & 0 & raiz2 & 0 & cdots 0 & raiz2 & 0 & raiz3 & cdots 0 & 0 & raiz3 & 0 & ddots vdots & vdots & vdots & ddots & ddots e P = iraizhbar m omega2 0 & -raiz1 & 0 & 0 & cdots raiz1 & 0 & -raiz2 & 0 & cdots 0 & raiz2 & 0 & -raiz3 & cdots 0 & 0 & raiz3 & 0 & ddots vdots & vdots & vdots & ddots & ddots na base . As matrizes serão infinitas, mas vamos mostrar a estrutura geral. Para :
E para :
Essas matrizes mostram como e conectam diferentes estados na base.

Passo 5

Agora, vamos construir a matriz do Hamiltoniano H = P^22m + 12momega^2 X^2 . Sabemos que no oscilador harmônico, o Hamiltoniano é dado por:
En = hbar omega ( n + 12 )
Mas na base H = 12hbaromega & 0 & 0 & 0 & cdots 0 & 32hbaromega & 0 & 0 & cdots 0 & 0 & 52hbaromega & 0 & cdots 0 & 0 & 0 & 72hbaromega & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & ddots , já está diagonal, ou seja, só tem elementos na diagonal principal. Os elementos dessa diagonal são os autovalores de energia:
Portanto, a matriz de fica assim:

Resposta

A matriz do Hamiltoniano H = 12hbaromega & 0 & 0 & 0 & cdots 0 & 32hbaromega & 0 & 0 & cdots 0 & 0 & 52hbaromega & 0 & cdots 0 & 0 & 0 & 72hbaromega & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & ddots na base é diagonal, com os elementos da diagonal principal sendo . Assim, temos:

Exercícios relacionados