Considere um oscilador harmônico simples cuja a massa é m=0,1 kg e a constante de força da mola é k=5 N / m. As seguintes três situações são independentes.
a) Em t=0 a massa é afastada 0,1 m desde a posição de equilíbrio e solta com velocidade zero. Determine a função de movimento x(t) da massa, sua energia mecânica e a máxima velocidade que atinge.
b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de 1 m / s no sentido positivo. Determine a equação de movimento x(t) e calcule a energia potencial máxima da massa.
c) Suponta que em t=0 a massa se encontra na posição 0,2 m com velocidade inicial de 2,0 m / s. Determine a equação de movimento x(t) e calcule a energia mecânica da massa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um oscilador harmônico simples com uma massa de e uma constante de mola de . Vamos usar as equações do movimento harmônico simples para resolver cada uma das situações apresentadas.

a) Massa afastada e solta com velocidade zero

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função de movimento x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t) . Para um oscilador harmônico, a posição em função do tempo pode ser descrita por:
onde:
  • e são constantes que determinam a amplitude e a fase.
  • é a frequência angular.

Passo 3

Calculando omega = raiz50,1 = raiz50 approx 7,071 , rad/s :

Passo 4

Usando as condições iniciais: em 0,1 = A cos(0) + B sin(0) , 0,1 = A e v(t) = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t) .
Substituindo 0 = -0,1 times 7,071 times 0 + B times 7,071 times 1 na equação de 0 = B times 7,071 :
Então, .
Calculando a derivada de para encontrar :
Em :
Então, .

Passo 5

Agora, a função de movimento fica:
x(t) = 0,1 cos(7,071 t)

Passo 6

A energia mecânica E = 12 k A^2 de um oscilador harmônico é:
E = 12 times 5 times (0,1)^2 = 12 times 5 times 0,01 = 0,025 , J
Substituindo os valores:

Passo 7

A velocidade máxima vmax = A omega ocorre quando vmax = 0,1 times 7,071 approx 0,7071 , m/s , então:
Substituindo:

Passo 8

Aqui, a massa começa em com uma velocidade inicial . Vamos encontrar a equação de e a energia potencial máxima.

Passo 9

A função de movimento geral é:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Com .

Passo 10

Aplicando as condições iniciais:
Para 0 = A cos(0) + B sin(0) :
0 = A
v(t) = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Então, 1 = -0 + B omega .
A derivada de B = 1omega approx 17,071 approx 0,1414 , m é:
Em :

Passo 11

A equação de movimento fica:
x(t) = 0 + 0,1414 sin(7,071 t)
x(t) = 0,1414 sin(7,071 t)

Passo 12

A energia potencial máxima Umax = 12 k A^2 ocorre quando a amplitude é máxima:
Umax = 12 times 5 times (0,1414)^2
Aqui, a amplitude Umax = 2,5 times 0,02 :
Umax = 0,05 , J

Passo 13

Agora, a massa está em com uma velocidade inicial . Vamos determinar a equação de e a energia mecânica.

Passo 14

Usamos novamente a função de movimento:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Com .

Passo 15

Aplicando as condições iniciais:
Para 0,2 = A cos(0) + B sin(0) :
0,2 = A
v(t) = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Então, 2,0 = -0,2 times 7,071 times 0 + B times 7,071 times 1 .
A derivada de 2,0 = B times 7,071 é:
B = 2,07,071 approx 0,2828 , m
Em :

Passo 16

A equação de movimento fica:
x(t) = 0,2 cos(7,071 t) + 0,2828 sin(7,071 t)

Passo 17

A energia mecânica E = 12 k A^2 + 12 m v0^2 é:
E = 12 times 5 times (0,2)^2 + 12 times 0,1 times (2,0)^2
Calculando:
E = 12 times 5 times 0,04 + 12 times 0,1 times 4
E = 0,1 + 0,2
E = 0,3 , J

Resposta

A equação de movimento é e a energia mecânica da massa é .

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b. Determine quais são as funções v(t) e a(t).