Considere um oscilador harmônico simples cuja a massa é
e a constante de força da mola é
. As seguintes três situações são independentes.
a) Em
a massa é afastada
desde a posição de equilíbrio e solta com velocidade zero. Determine a função de movimento
da massa, sua energia mecânica e a máxima velocidade que atinge.
b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de
no sentido positivo. Determine a equação de movimento
e calcule a energia potencial máxima da massa.
c) Suponta que em
a massa se encontra na posição
com velocidade inicial de
. Determine a equação de movimento
e calcule a energia mecânica da massa.
a) Em
b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de
c) Suponta que em
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um oscilador harmônico simples com uma massa de
e uma constante de mola de
. Vamos usar as equações do movimento harmônico simples para resolver cada uma das situações apresentadas.
a) Massa afastada
e solta com velocidade zero
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função de movimento
. Para um oscilador harmônico, a posição em função do tempo pode ser descrita por:
onde:
-
e são constantes que determinam a amplitude e a fase. -
é a frequência angular.
Passo 3
Calculando
:
Passo 4
Usando as condições iniciais: em
,
e
.
Substituindo
na equação de
:
Então,
.
Calculando a derivada de
para encontrar
:
Em
:
Então,
.
Passo 5
Agora, a função de movimento fica:
Passo 6
A energia mecânica
de um oscilador harmônico é:
Substituindo os valores:
Passo 7
A velocidade máxima
ocorre quando
, então:
Substituindo:
Passo 8
Aqui, a massa começa em
com uma velocidade inicial
. Vamos encontrar a equação de
e a energia potencial máxima.
Passo 9
A função de movimento geral é:
Com
.
Passo 10
Aplicando as condições iniciais:
Para :
Para
Então,
.
A derivada de
é:
Em
:
Passo 11
A equação de movimento fica:
Passo 12
A energia potencial máxima
ocorre quando a amplitude é máxima:
Aqui, a amplitude
:
Passo 13
Agora, a massa está em
com uma velocidade inicial
. Vamos determinar a equação de
e a energia mecânica.
Passo 14
Usamos novamente a função de movimento:
Com
.
Passo 15
Aplicando as condições iniciais:
Para :
Para
Então,
.
A derivada de
é:
Em
:
Passo 16
A equação de movimento fica:
Passo 17
A energia mecânica
é:
Calculando:
Resposta
A equação de movimento é
e a energia mecânica da massa é
.
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. Determine as expressões que fornecem os valores de
.
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. No instante
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a. Qual é a função que descreve a posição da partícula?
b. Determine quais são as funções e
.
a. Qual é a função que descreve a posição da partícula?
b. Determine quais são as funções