Um pêndulo simples amortecido, com comprimento L=2,0 m é colocado para oscilar com um ângulo inicial de 15^circ. Após 600 segundos, o angulo máximo de oscilação passa ser 7^circ. Qual é o valor da constante de amortecimento?

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um pêndulo simples amortecido com um comprimento de . Ele é iniciado com um ângulo de e, após segundos, o ângulo máximo de oscilação diminui para . Nosso objetivo é encontrar o valor da constante de amortecimento desse pêndulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico amortecido e exponencial de decaimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um sistema amortecido, a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A relação que descreve a amplitude A(t) = A0 , e^-bt em função do tempo é:
Onde:
  • é a amplitude inicial,
  • é a constante de amortecimento,
  • é o tempo.

Passo 3

Sabemos que inicialmente o ângulo é 7 = 15 , e^-b times 600 e após , a amplitude é . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 4

Para encontrar 715 = e^-600b , vamos isolar a exponencial dividindo ambos os lados por 15:

Passo 5

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para ln(715) = -600b :

Passo 6

Isolando b = -ln(715)600 , temos:

Passo 7

Calculando o valor numérico:
ln(715) = ln(0,4667) approx -0,764
Então,
b = --0,764600 approx 0,001273 , s^-1

Resposta

A constante de amortecimento do pêndulo é aproximadamente .

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