Um pêndulo simples amortecido, com comprimento
é colocado para oscilar com um ângulo inicial de
. Após 600 segundos, o angulo máximo de oscilação passa ser
. Qual é o valor da constante de amortecimento?
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos um pêndulo simples amortecido com um comprimento de
. Ele é iniciado com um ângulo de
e, após
segundos, o ângulo máximo de oscilação diminui para
. Nosso objetivo é encontrar o valor da constante de amortecimento desse pêndulo. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico amortecido e exponencial de decaimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um sistema amortecido, a amplitude das oscilações diminui exponencialmente com o tempo. A relação que descreve a amplitude
em função do tempo
é:
Onde:
-
é a amplitude inicial, -
é a constante de amortecimento, -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que inicialmente o ângulo é
e após
, a amplitude é
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 4
Para encontrar
, vamos isolar a exponencial dividindo ambos os lados por 15:
Passo 5
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Passo 6
Isolando
, temos:
Passo 7
Calculando o valor numérico:
Então,
Resposta
A constante de amortecimento do pêndulo é aproximadamente
.
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. Determine a equação de movimento
e calcule a energia mecânica da massa.
a) Em
b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de
c) Suponta que em