A solução do oscilador harmónico amortecido no regime crítico pode ser escrita como:
Considere que a massa do oscilador inicia o movimento na posição
e com velocidade
. Determine as expressões que fornecem os valores de
.
Passo 1
Beleza, amigo! Vamos resolver esse problema sobre o oscilador harmônico amortecido no regime crítico. A gente tem uma equação que descreve o movimento desse oscilador:
Nos dizem que a massa começa na posição inicial
e com velocidade inicial
. Nosso objetivo é descobrir as expressões para
e
em termos de
e
. Vamos precisar usar as condições iniciais e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a condição inicial de posição. Isso significa que, no instante
, a posição
é igual a
. Vamos substituir
na equação:
Como
, fica claro que:
Passo 3
Agora, vamos para a condição inicial de velocidade. Precisamos encontrar a expressão para a velocidade
, que é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar a equação
:
Aplicando a regra do produto na derivada:
Podemos simplificar isso para:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial de velocidade
. Substituímos
na expressão da velocidade:
Sabemos que
, então substituímos:
Resolvendo para
:
Resposta
As expressões para
e
são:
e