A solução do oscilador harmónico amortecido no regime crítico pode ser escrita como:
Considere que a massa do oscilador inicia o movimento na posição
e com velocidade
. Determine as expressões que fornecem os valores de
.
Passo 1
Beleza, amigo! Vamos resolver esse problema sobre o oscilador harmônico amortecido no regime crítico. A gente tem uma equação que descreve o movimento desse oscilador:
Nos dizem que a massa começa na posição inicial
e com velocidade inicial
. Nosso objetivo é descobrir as expressões para
e
em termos de
e
. Vamos precisar usar as condições iniciais e um pouco de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a condição inicial de posição. Isso significa que, no instante
, a posição
é igual a
. Vamos substituir
na equação:
Como
, fica claro que:
Passo 3
Agora, vamos para a condição inicial de velocidade. Precisamos encontrar a expressão para a velocidade
, que é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar a equação
:
Aplicando a regra do produto na derivada:
Podemos simplificar isso para:
Passo 4
Agora, aplicamos a condição inicial de velocidade
. Substituímos
na expressão da velocidade:
Sabemos que
, então substituímos:
Resolvendo para
:
Resposta
As expressões para
e
são:
e
Exercícios relacionados
Considere um oscilador harmônico simples cuja a massa é
e a constante de força da mola é
. As seguintes três situações são independentes.
a) Em a massa é afastada
desde a posição de equilíbrio e solta com velocidade zero. Determine a função de movimento
da massa, sua energia mecânica e a máxima velocidade que atinge.
b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de no sentido positivo. Determine a equação de movimento
e calcule a energia potencial máxima da massa.
c) Suponta que em a massa se encontra na posição
com velocidade inicial de
. Determine a equação de movimento
e calcule a energia mecânica da massa.
a) Em
b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de
c) Suponta que em
Resolva passo a passo (modele o problema, construa a EDO e resolva a EDO) o oscilador harmônico forçado amortecido.
Considere que uma partícula está em um movimento harmônico simples vertical e sua amplitude máxima é de
e frequência de
. No instante
a partícula está passando pela posição de equilíbrio e com velocidade máxima para a direta.
a. Qual é a função que descreve a posição da partícula?
b. Determine quais são as funções e
.
a. Qual é a função que descreve a posição da partícula?
b. Determine quais são as funções
Um pêndulo simples oscila com frequência igual a
. No instante
, o pêndulo é afastado
em relação a vertical e recebe um impulso tangencial e parte com velocidade igual à
no sentido.
a. Determine o comprimento do pêndulo.
b. Qual é amplitude máxima?
a. Determine o comprimento do pêndulo.
b. Qual é amplitude máxima?