A solução do oscilador harmónico amortecido no regime crítico pode ser escrita como:
x(t)=e^-beta t(A0+B0 t)
Considere que a massa do oscilador inicia o movimento na posição x0 e com velocidade v0. Determine as expressões que fornecem os valores de A0 e B0.

Passo 1

Beleza, amigo! Vamos resolver esse problema sobre o oscilador harmônico amortecido no regime crítico. A gente tem uma equação que descreve o movimento desse oscilador:
x(t) = e^-beta t(A0 + B0 t)
Nos dizem que a massa começa na posição inicial e com velocidade inicial . Nosso objetivo é descobrir as expressões para e em termos de e . Vamos precisar usar as condições iniciais e um pouco de cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a condição inicial de posição. Isso significa que, no instante x(0) = e^-beta cdot 0(A0 + B0 cdot 0) = e^0(A0) = A0 , a posição A0 = x0 é igual a . Vamos substituir na equação:
Como , fica claro que:

Passo 3

Agora, vamos para a condição inicial de velocidade. Precisamos encontrar a expressão para a velocidade v(t) = dx(t)dt , que é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = ddt[e^-beta t(A0 + B0 t)]
Vamos derivar a equação v(t) = -beta e^-beta t(A0 + B0 t) + e^-beta t cdot B0 :
v(t) = e^-beta t(-beta A0 - beta B0 t + B0)
Aplicando a regra do produto na derivada:
Podemos simplificar isso para:

Passo 4

Agora, aplicamos a condição inicial de velocidade v(0) = e^0(-beta A0 - beta B0 cdot 0 + B0) = -beta A0 + B0 . Substituímos v0 = -beta x0 + B0 na expressão da velocidade:
B0 = v0 + beta x0
Sabemos que , então substituímos:
Resolvendo para :

Resposta

As expressões para A0 = x0 e B0 = v0 + beta x0 são:
e

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