Resolva passo a passo (modele o problema, construa a EDO e resolva a EDO) o oscilador harmônico forçado amortecido.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o problema do oscilador harmônico forçado amortecido. Esse assunto tá na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Mecânica, onde a gente vai modelar o movimento de um sistema que oscila com força externa e sofre amortecimento (ou seja, tem uma resistência ao movimento, tipo atrito). Para resolver isso, a gente precisa montar a equação que descreve esse sistema e, depois, resolver essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos modelar o problema. Imagine um sistema de massa e mola onde uma força externa está sendo aplicada e há uma resistência proporcional à velocidade, que representa o amortecimento. As variáveis que vamos usar são:
-
: massa do objeto -
: coeficiente de amortecimento -
: constante da mola -
: força externa aplicada no tempo -
: posição da massa em função do tempo
Passo 3
Agora, vamos construir a EDO usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
As forças atuando no sistema são:
- A força da mola, que segue a Lei de Hooke:
- A força de amortecimento:
- A força externa:
Então, a força resultante é a soma dessas forças:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Essa é a Equação Diferencial Ordinária que descreve o oscilador harmônico forçado amortecido.
Passo 4
Vamos agora resolver a EDO. A equação que temos é:
Para resolver essa equação, a gente vai encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e de uma solução particular.
Primeiro, dividimos toda a equação por
para simplificar:
Vamos chamar
e
, então a equação fica:
Passo 5
Solução da Equação Homogênea:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
A solução depende do discriminante
:
- Subamortecido (
):
onde
e
são constantes de integração.
Passo 6
Solução Particular:
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação inteira. Supondo que a força externa é harmônica, ou seja,
, a solução particular é da forma:
Substituindo
na equação original e resolvendo para
e
, encontramos:
Passo 7
Solução Geral:
A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Substituindo as expressões que encontramos:
Resposta
A solução geral do oscilador harmônico forçado amortecido é:
onde:
-
-
-
-
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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é colocado para oscilar com um ângulo inicial de
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b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de no sentido positivo. Determine a equação de movimento
e calcule a energia potencial máxima da massa.
c) Suponta que em a massa se encontra na posição
com velocidade inicial de
. Determine a equação de movimento
e calcule a energia mecânica da massa.
a) Em
b) Considere agora que o oscilador inicia seu movimento desde a origem com uma velocidade de
c) Suponta que em
A solução do oscilador harmónico amortecido no regime crítico pode ser escrita como:
Considere que a massa do oscilador inicia o movimento na posição
e com velocidade
. Determine as expressões que fornecem os valores de
.