Resolva passo a passo (modele o problema, construa a EDO e resolva a EDO) o oscilador harmônico forçado amortecido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver o problema do oscilador harmônico forçado amortecido. Esse assunto tá na área de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Mecânica, onde a gente vai modelar o movimento de um sistema que oscila com força externa e sofre amortecimento (ou seja, tem uma resistência ao movimento, tipo atrito). Para resolver isso, a gente precisa montar a equação que descreve esse sistema e, depois, resolver essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos modelar o problema. Imagine um sistema de massa e mola onde uma força externa está sendo aplicada e há uma resistência proporcional à velocidade, que representa o amortecimento. As variáveis que vamos usar são:
  • : massa do objeto
  • : coeficiente de amortecimento
  • : constante da mola
  • : força externa aplicada no tempo
  • : posição da massa em função do tempo

Passo 3

Agora, vamos construir a EDO usando a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
m ddotx = Fresu
As forças atuando no sistema são:
  1. A força da mola, que segue a Lei de Hooke: Fresu
  2. A força de amortecimento: m ddotx + c dotx + k x = F(t)
  3. A força externa:
Então, a força resultante é a soma dessas forças:
Substituindo na segunda lei de Newton:
Essa é a Equação Diferencial Ordinária que descreve o oscilador harmônico forçado amortecido.

Passo 4

Vamos agora resolver a EDO. A equação que temos é:
m ddotx + c dotx + k x = F(t)
Para resolver essa equação, a gente vai encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (sem a força externa) e de uma solução particular.
Primeiro, dividimos toda a equação por ddotx + cm dotx + km x = F(t)m para simplificar:
ddotx + 2gamma dotx + omega0^2 x = F(t)m
Vamos chamar e , então a equação fica:

Passo 5

Solução da Equação Homogênea:
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
ddotx + 2gamma dotx + omega0^2 x = 0
A solução depende do discriminante xh(t) = e^-gamma t ( C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) ) :
  • Subamortecido ( ):
onde e são constantes de integração.

Passo 6

Solução Particular:
Agora, vamos encontrar uma solução particular xp(t) = A cos(omegaf t) + B sin(omegaf t) para a equação inteira. Supondo que a força externa é harmônica, ou seja, A = F0 (m omegaf^2)(k - m omegaf^2)^2 + (c omegaf)^2 , a solução particular é da forma:
B = F0 (c omegaf)(k - m omegaf^2)^2 + (c omegaf)^2
Substituindo na equação original e resolvendo para e , encontramos:

Passo 7

Solução Geral:
A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:
x(t) = xh(t) + xp(t)
Substituindo as expressões que encontramos:
x(t) = e^-gamma t ( C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) ) + F0m (k - m omegaf^2) cos(omegaf t) + c omegaf sin(omegaf t) (k - m omegaf^2)^2 + (c omegaf)^2

Resposta

A solução geral do oscilador harmônico forçado amortecido é:
x(t) = e^-gamma t ( C1 cos(omega t) + C2 sin(omega t) ) + F0m (k - m omegaf^2) cos(omegaf t) + c omegaf sin(omegaf t) (k - m omegaf^2)^2 + (c omegaf)^2
onde:
  • são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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