Considere que uma partícula está em um movimento harmônico simples vertical e sua amplitude máxima é de
e frequência de
. No instante
a partícula está passando pela posição de equilíbrio e com velocidade máxima para a direta.
a. Qual é a função que descreve a posição da partícula?
b. Determine quais são as funções
e
.
a. Qual é a função que descreve a posição da partícula?
b. Determine quais são as funções
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS) na vertical. A amplitude máxima dela é de
e a frequência é de
. No instante
, a partícula está passando pela posição de equilíbrio com a velocidade máxima para a direita. Nosso objetivo é encontrar:
a. A função que descreve a posição da partícula, .
b. As funções de velocidade, , e de aceleração,
.
a. A função que descreve a posição da partícula,
b. As funções de velocidade,
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Movimento Harmônico Simples. É um tipo de movimento oscilatório onde a força que age na partícula é proporcional e oposta à sua posição em relação ao ponto de equilíbrio. As equações básicas que descrevem esse movimento são:
Onde:
-
é a amplitude, -
é a frequência angular, -
é a fase inicial.
Passo 3
Vamos calcular a frequência angular
. Sabemos que:
Onde
é a frequência. Substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos determinar a fase inicial
. Sabemos que no instante
, a partícula está na posição de equilíbrio (
) com velocidade máxima para a direita. Isso significa que a derivada da posição, que é a velocidade, está na sua máxima. Observando a equação de
, para que
, precisamos que:
Isso acontece quando
ou
. Vamos escolher
para que a velocidade seja positiva inicialmente.
Passo 5
Substituindo
na equação de
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Então, a função que descreve a posição da partícula é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as funções de velocidade
e de aceleração
derivando
em relação ao tempo.
Derivando
:
Derivando
:
Resposta
a. A função que descreve a posição da partícula é:
b. As funções de velocidade e aceleração são: