Considere que uma partícula está em um movimento harmônico simples vertical e sua amplitude máxima é de 4,00 cm e frequência de 3,0 Hz. No instante t=0 a partícula está passando pela posição de equilíbrio e com velocidade máxima para a direta.
a. Qual é a função que descreve a posição da partícula?
b. Determine quais são as funções v(t) e a(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS) na vertical. A amplitude máxima dela é de 4,00,cm e a frequência é de 3,0,Hz. No instante t=0, a partícula está passando pela posição de equilíbrio com a velocidade máxima para a direita. Nosso objetivo é encontrar:
a. A função que descreve a posição da partícula, x(t).
b. As funções de velocidade, v(t), e de aceleração, a(t).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Movimento Harmônico Simples. É um tipo de movimento oscilatório onde a força que age na partícula é proporcional e oposta à sua posição em relação ao ponto de equilíbrio. As equações básicas que descrevem esse movimento são:
x(t) = A cos(omega t + phi)
v(t) = -A omega sin(omega t + phi)
a(t) = -A omega^2 cos(omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude,
  • omega é a frequência angular,
  • phi é a fase inicial.

Passo 3

Vamos calcular a frequência angular omega. Sabemos que:
omega = 2pi f
Onde f é a frequência. Substituindo:
omega = 2pi times 3,0,Hz = 6pi,rad/s

Passo 4

Agora, precisamos determinar a fase inicial phi. Sabemos que no instante t=0, a partícula está na posição de equilíbrio ( x=0) com velocidade máxima para a direita. Isso significa que a derivada da posição, que é a velocidade, está na sua máxima. Observando a equação de x(t), para que x(0)=0, precisamos que:
A cos(phi) = 0
Isso acontece quando phi = pi2 ou phi = -pi2. Vamos escolher phi = -pi2 para que a velocidade seja positiva inicialmente.

Passo 5

Substituindo phi = -pi2 na equação de x(t):
x(t) = A cos(omega t - pi2)
Usando a identidade trigonométrica cos(theta - pi2) = sin(theta):
x(t) = A sin(omega t)
Então, a função que descreve a posição da partícula é:
x(t) = 4,00,cm times sin(6pi t)

Passo 6

Agora, vamos encontrar as funções de velocidade v(t) e de aceleração a(t) derivando x(t) em relação ao tempo.
Derivando x(t):
v(t) = dxdt = 4,00,cm times 6pi cos(6pi t) = 24pi,cm/s times cos(6pi t)
Derivando v(t):
a(t) = dvdt = -24pi,cm/s times 6pi sin(6pi t) = -144pi^2,cm/s^2 times sin(6pi t)

Resposta

a. A função que descreve a posição da partícula é:
x(t) = 4,00,cm times sin(6pi t)
b. As funções de velocidade e aceleração são:
v(t) = 24pi,cm/s times cos(6pi t)
a(t) = -144pi^2,cm/s^2 times sin(6pi t)

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