Dado a função de onda:
psi(x)=N sin (k x) e^-lambda x
com lambda>0 e k in R.
d) Qual o desvio padrão médio da posição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
psi(x) = N sin(kx) e^-lambda x
onde lambda > 0 e k é um número real. O que a gente precisa encontrar aqui é o desvio padrão médio da posição, que é uma medida de quão espalhada a posição de uma partícula está ao redor do valor médio.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
  • Normalizar a função de onda para encontrar o valor de N.
  • Calcular os valores médios lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<= usando integrais.
  • Usar esses valores para encontrar o desvio padrão sigmax.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de N de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.
A condição de normalização é:
integral0^infty |psi(x)|^2 dx = 1
Substituindo psi(x):
integral0^infty N^2 sin^2(kx) e^-2lambda x dx = 1
Então, vamos resolver essa integral para encontrar N.

Passo 3

Vamos resolver a integral:
N^2 integral0^infty sin^2(kx) e^-2lambda x dx = 1
Usamos a identidade trigonométrica sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2:
N^2 integral0^infty 1 - cos(2kx)2 e^-2lambda x dx = 1
Isso simplifica para:
N^2 [ 12 integral0^infty e^-2lambda x dx - 12 integral0^infty cos(2kx) e^-2lambda x dx ] = 1
Essas integrais são soluções conhecidas:
integral0^infty e^-ax dx = 1a
e
integral0^infty cos(bx) e^-ax dx = aa^2 + b^2
Aplicando isso, temos:
N^2 [ 12 cdot 12lambda - 12 cdot 2lambda(2lambda)^2 + (2k)^2 ] = 1
Simplificando:
N^2 [ 14lambda - lambda4lambda^2 + 4k^2 ] = 1
Fatorando o denominador:
N^2 cdot 14 ( 1lambda - lambdalambda^2 + k^2 ) = 1
N^2 cdot 14 cdot k^2lambda(lambda^2 + k^2) = 1
Então,
N^2 = 4lambda(lambda^2 + k^2)k^2
Portanto,
N = 2raizlambda(lambda^2 + k^2)k

Passo 4

Agora que temos N, vamos calcular o valor médio da posição lang<= x rang<=. A fórmula para o valor médio é:
lang<= x rang<= = integral0^infty x |psi(x)|^2 dx
Substituindo psi(x):
lang<= x rang<= = N^2 integral0^infty x sin^2(kx) e^-2lambda x dx
Vamos calcular essa integral usando a mesma identidade trigonométrica que usamos antes e técnicas de integração.

Passo 5

Usando sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2, temos:
lang<= x rang<= = N^2 cdot 12 integral0^infty x e^-2lambda x dx - N^2 cdot 12 integral0^infty x cos(2kx) e^-2lambda x dx
Sabemos que:
integral0^infty x e^-ax dx = 1a^2
e
integral0^infty x cos(bx) e^-ax dx = a^2 - b^2(a^2 + b^2)^2
Aplicando essas fórmulas:
lang<= x rang<= = N^2 cdot 12 cdot 1(2lambda)^2 - N^2 cdot 12 cdot (2lambda)^2 - (2k)^2[(2lambda)^2 + (2k)^2]^2
Simplificando:
lang<= x rang<= = N^2 cdot 18lambda^2 - N^2 cdot 4lambda^2 - 4k^2[4lambda^2 + 4k^2]^2 cdot 12
lang<= x rang<= = N^28lambda^2 - N^2 ( lambda^2 - k^2 )2 ( lambda^2 + k^2 )^2
Substituindo N^2:
lang<= x rang<= = 4lambda(lambda^2 + k^2)k^2 cdot 18lambda^2 - 4lambda(lambda^2 + k^2)k^2 cdot lambda^2 - k^2 2 ( lambda^2 + k^2 )^2
Simplificando:
lang<= x rang<= = lambda^2 + k^22k^2 lambda - (lambda^2 - k^2) k^2 (lambda^2 + k^2)
Combinando os termos:
lang<= x rang<= = lambda^2 + k^2 - 2(lambda^2 - k^2)2k^2 lambda
lang<= x rang<= = -lambda^2 + 3k^22k^2 lambda

Passo 6

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral0^infty x^2 |psi(x)|^2 dx
Substituindo psi(x):
lang<= x^2 rang<= = N^2 integral0^infty x^2 sin^2(kx) e^-2lambda x dx
Usamos novamente a identidade sin^2(kx) = 1 - cos(2kx)2:
lang<= x^2 rang<= = N^2 cdot 12 integral0^infty x^2 e^-2lambda x dx - N^2 cdot 12 integral0^infty x^2 cos(2kx) e^-2lambda x dx
As integrais conhecidas são:
integral0^infty x^2 e^-ax dx = 2a^3
e
integral0^infty x^2 cos(bx) e^-ax dx = 2a(a^2 - 3b^2)(a^2 + b^2)^3
Aplicando essas fórmulas:
lang<= x^2 rang<= = N^2 cdot 12 cdot 2(2lambda)^3 - N^2 cdot 12 cdot 2 (2lambda) ( (2lambda)^2 - 3(2k)^2 ) [ (2lambda)^2 + (2k)^2 ]^3
Simplificando:
lang<= x^2 rang<= = N^2 cdot 18lambda^3 - N^2 cdot (8lambda^3 - 24lambda k^2) 2 cdot 64 (lambda^2 + k^2)^3
lang<= x^2 rang<= = N^28lambda^3 - N^2 ( lambda^3 - 3lambda k^2 ) 64 (lambda^2 + k^2)^3
Substituindo N^2:
lang<= x^2 rang<= = 4lambda(lambda^2 + k^2)k^2 cdot 18lambda^3 - 4lambda(lambda^2 + k^2)k^2 cdot lambda^3 - 3lambda k^2 64 (lambda^2 + k^2)^3
Simplificando:
lang<= x^2 rang<= = lambda^2 + k^22k^2 lambda^2 - (lambda^3 - 3lambda k^2) 16 k^2 (lambda^2 + k^2)^2

Passo 7

Agora que temos lang<= x rang<= e lang<= x^2 rang<=, podemos calcular o desvio padrão usando:
sigmax = raiz lang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2
Substituindo os valores que encontramos:
sigmax = raiz -lambda^2 + 3k^22k^2 lambda - ( -lambda^2 + 3k^22k^2 lambda )^2
Simplificando essa expressão nos dará o desvio padrão médio da posição.

Resposta

O desvio padrão médio da posição é dado por:
sigmax = raiz -lambda^2 + 3k^22k^2 lambda - ( -lambda^2 + 3k^22k^2 lambda )^2

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