Dado a função de onda:
e
.
d) Qual o desvio padrão médio da posição?
d) Qual o desvio padrão médio da posição?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
onde
e
é um número real. O que a gente precisa encontrar aqui é o desvio padrão médio da posição, que é uma medida de quão espalhada a posição de uma partícula está ao redor do valor médio.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
- Normalizar a função de onda para encontrar o valor de
. - Calcular os valores médios
e usando integrais. - Usar esses valores para encontrar o desvio padrão
.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de
de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.
A condição de normalização é:
Substituindo
:
Então, vamos resolver essa integral para encontrar
.
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Usamos a identidade trigonométrica
:
Isso simplifica para:
Essas integrais são soluções conhecidas:
e
Aplicando isso, temos:
Simplificando:
Fatorando o denominador:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora que temos
, vamos calcular o valor médio da posição
. A fórmula para o valor médio é:
Substituindo
:
Vamos calcular essa integral usando a mesma identidade trigonométrica que usamos antes e técnicas de integração.
Passo 5
Usando
, temos:
Sabemos que:
e
Aplicando essas fórmulas:
Simplificando:
Substituindo
:
Simplificando:
Combinando os termos:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Substituindo
:
Usamos novamente a identidade
:
As integrais conhecidas são:
e
Aplicando essas fórmulas:
Simplificando:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos calcular o desvio padrão usando:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando essa expressão nos dará o desvio padrão médio da posição.
Resposta
O desvio padrão médio da posição é dado por:
Exercícios relacionados
Dado a função de onda:
e) Qual o desvio padrão médio do momento? Mostre que o princípio de incerteza não é violado.
Dado a função de onda:
a) Encontre a normalização dessa função de onda
Dois nanofios de cobre são isolados por uma camada de óxido de cobre que fornece uma barreira potencial de 10,0 eV. Estimar a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons de
através de uma camada de óxido de
de espessura. E se a espessura da camada fosse reduzida para apenas
? E se a energia dos elétrons fosse aumentada para
?
Considere um oscilador harmônico unidimensional com potencial
Em que
denota o autoestado de energia:
(b) Verifique se o teorema de Virial vale para os valores esperados da energia cinética e da energia potencial tomados para um autoestado de energia