Dado a função de onda:
e .
d) Qual o desvio padrão médio da posição?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda dada por:
onde e é um número real. O que a gente precisa encontrar aqui é o desvio padrão médio da posição, que é uma medida de quão espalhada a posição de uma partícula está ao redor do valor médio.
Para resolver isso, a gente vai precisar:
  • Normalizar a função de onda para encontrar o valor de .
  • Calcular os valores médios e usando integrais.
  • Usar esses valores para encontrar o desvio padrão .

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Normalizar significa ajustar o valor de de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja igual a 1.
A condição de normalização é:
Substituindo :
Então, vamos resolver essa integral para encontrar .

Passo 3

Vamos resolver a integral:
Usamos a identidade trigonométrica :
Isso simplifica para:
Essas integrais são soluções conhecidas:
e
Aplicando isso, temos:
Simplificando:
Fatorando o denominador:
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora que temos , vamos calcular o valor médio da posição . A fórmula para o valor médio é:
Substituindo :
Vamos calcular essa integral usando a mesma identidade trigonométrica que usamos antes e técnicas de integração.

Passo 5

Usando , temos:
Sabemos que:
e
Aplicando essas fórmulas:
Simplificando:
Substituindo :
Simplificando:
Combinando os termos:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Substituindo :
Usamos novamente a identidade :
As integrais conhecidas são:
e
Aplicando essas fórmulas:
Simplificando:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 7

Agora que temos e , podemos calcular o desvio padrão usando:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando essa expressão nos dará o desvio padrão médio da posição.

Resposta

O desvio padrão médio da posição é dado por:

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e .
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