Dois nanofios de cobre são isolados por uma camada de óxido de cobre que fornece uma barreira potencial de 10,0 eV. Estimar a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons de 7,00 eV através de uma camada de óxido de 5,00 nm de espessura. E se a espessura da camada fosse reduzida para apenas 1,00 nm ? E se a energia dos elétrons fosse aumentada para 9,00 eV ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois nanofios de cobre separados por uma camada de óxido que cria uma barreira potencial de 10,0 eV. A gente precisa calcular a probabilidade de tunelamento dos elétrons com energia de 7,00 eV através dessa camada com espessura de 5,00 nm. Também vamos ver o que acontece se a espessura diminuir para 1,00 nm e se a energia dos elétrons aumentar para 9,00 eV. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o tunelamento quântico, e algumas fórmulas matemáticas para calcular essa probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tunelamento quântico. Na mecânica quântica, partículas como elétrons têm uma chance de atravessar barreiras de potencial mesmo que, classicamente, não teriam energia suficiente para isso. A probabilidade desse tunelamento depende da altura e da espessura da barreira, além da energia do elétron.

Passo 3

A fórmula que usamos para estimar a probabilidade de tunelamento T approx e^-2 gamma é dada por:
gamma = raiz2mhbar^2 (V0 - E) times d
Onde é definido por:
  • é a massa do elétron ( kg)
  • é a constante de Planck reduzida ( J·s)
  • é a altura da barreira (10,0 eV)
  • é a energia do elétron (7,00 eV ou 9,00 eV)
  • é a espessura da barreira (5,00 nm ou 1,00 nm)

Passo 4

Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • 1 eV = J
  • 5,00 nm = m
  • 1,00 nm = m
Então:
  • eV = J
  • eV = J
  • eV = J

Passo 5

Agora, vamos calcular gamma1 = raiz2 times 9,11 times 10^-31(1,055 times 10^-34)^2 (1,602 times 10^-18 - 1,1214 times 10^-18) times 5,00 times 10^-9 para cada caso.
Caso 1: gamma2 = raiz2 times 9,11 times 10^-31(1,055 times 10^-34)^2 (1,602 times 10^-18 - 1,1214 times 10^-18) times 1,00 times 10^-9 eV e gamma3 = raiz2 times 9,11 times 10^-31(1,055 times 10^-34)^2 (1,602 times 10^-18 - 1,4418 times 10^-18) times 5,00 times 10^-9 nm
Caso 2: eV e nm
Caso 3: eV e nm

Passo 6

Vamos simplificar os cálculos:
Primeiro, calculamos 2mhbar^2 (V0 - E) :
  • Caso 1 e 2: 2 times 9,11 times 10^-31(1,055 times 10^-34)^2 times De J
  • Caso 3: 1,822 times 10^-301,113 times 10^-68 times 4,806 times 10^-19 approx 7,86 times 10^19 times 4,806 times 10^-19 approx 3,776 J
Agora, calculamos o fator dentro da raiz:
1,822 times 10^-301,113 times 10^-68 times 1,60 times 10^-19 approx 7,86 times 10^19 times 1,60 times 10^-19 approx 1,258
Substituindo os valores:
gamma = raizValor Calculado times d
Para Caso 1 e 2:
gamma1 = raiz3,776 times 5,00 times 10^-9 approx 1,944 times 5,00 times 10^-9 approx 9,72 times 10^-9
Para Caso 3:
gamma2 = raiz3,776 times 1,00 times 10^-9 approx 1,944 times 1,00 times 10^-9 approx 1,944 times 10^-9
Então:
gamma3 = raiz1,258 times 5,00 times 10^-9 approx 1,121 times 5,00 times 10^-9 approx 5,605 times 10^-9
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:

Passo 7

Agora, calculamos a probabilidade de tunelamento T approx e^-2 gamma para cada caso:
T1 approx e^-2 times 9,72 times 10^-9 approx e^-1,944 times 10^-8 approx 1 - 1,944 times 10^-8 approx 0,99999998
Caso 1:
T2 approx e^-2 times 1,944 times 10^-9 approx e^-3,888 times 10^-9 approx 1 - 3,888 times 10^-9 approx 0,999999996
Caso 2:
T3 approx e^-2 times 5,605 times 10^-9 approx e^-1,121 times 10^-8 approx 1 - 1,121 times 10^-8 approx 0,999999988
Caso 3:

Resposta

A probabilidade de tunelamento dos elétrons é aproximadamente:
  • Para eV e nm:
  • Para eV e nm:
  • Para eV e nm:

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