Dois nanofios de cobre são isolados por uma camada de óxido de cobre que fornece uma barreira potencial de 10,0 eV. Estimar a probabilidade de tunelamento entre os nanofios por elétrons de
através de uma camada de óxido de
de espessura. E se a espessura da camada fosse reduzida para apenas
? E se a energia dos elétrons fosse aumentada para
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre dois nanofios de cobre separados por uma camada de óxido que cria uma barreira potencial de 10,0 eV. A gente precisa calcular a probabilidade de tunelamento dos elétrons com energia de 7,00 eV através dessa camada com espessura de 5,00 nm. Também vamos ver o que acontece se a espessura diminuir para 1,00 nm e se a energia dos elétrons aumentar para 9,00 eV. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o tunelamento quântico, e algumas fórmulas matemáticas para calcular essa probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é tunelamento quântico. Na mecânica quântica, partículas como elétrons têm uma chance de atravessar barreiras de potencial mesmo que, classicamente, não teriam energia suficiente para isso. A probabilidade desse tunelamento depende da altura e da espessura da barreira, além da energia do elétron.
Passo 3
A fórmula que usamos para estimar a probabilidade de tunelamento
é dada por:
Onde
é definido por:
-
é a massa do elétron ( kg) -
é a constante de Planck reduzida ( J·s) -
é a altura da barreira (10,0 eV) -
é a energia do elétron (7,00 eV ou 9,00 eV) -
é a espessura da barreira (5,00 nm ou 1,00 nm)
Passo 4
Vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI):
- 1 eV =
J - 5,00 nm =
m - 1,00 nm =
m
Então:
-
eV = J -
eV = J -
eV = J
Passo 5
Agora, vamos calcular
para cada caso.
Caso 1:
eV e
nm
Caso 2:
eV e
nm
Caso 3:
eV e
nm
Passo 6
Vamos simplificar os cálculos:
Primeiro, calculamos
:
- Caso 1 e 2:
J - Caso 3:
J
Agora, calculamos o fator dentro da raiz:
Substituindo os valores:
Para Caso 1 e 2:
Para Caso 3:
Então:
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Passo 7
Agora, calculamos a probabilidade de tunelamento
para cada caso:
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Resposta
A probabilidade de tunelamento dos elétrons é aproximadamente:
- Para
eV e nm: - Para
eV e nm: - Para
eV e nm:
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