Encontre a solução de cada p.v.i. dado:

Passo 1

Então, temos um problema de valor inicial (p.v.i.) que nos pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, para resolver essa equação homogênea, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante que precisamos encontrar.

Passo 3

Substituindo na equação, obtemos:
Podemos dividir por (que nunca é zero) e ficamos com a equação característica:

Passo 4

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , e .

Passo 5

Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:

Passo 6

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 7

Aplicando a condição inicial :
Então, .

Passo 8

Agora, derivamos para usar a segunda condição :
Aplicando :
Substituindo :
Calculando
Então:
E, portanto, .

Resposta

A solução do p.v.i. é:

Exercícios relacionados

Considere o p.v.i
a. Resolva o p.v.i.
Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força
ao mover uma partícula da origem ao longo do eixo para , em seguida ao longo de um segmento de reta até , e então de volta à origem ao longo do eixo .
Encontre a solução de cada p.v.i. dado: .
Verifique se as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem o conjunto fundamental de soluções?