Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
Passo 1
Então, temos um problema de valor inicial (p.v.i.) que nos pede para resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2:
Agora, para resolver essa equação homogênea, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante que precisamos encontrar.
Passo 3
Substituindo
na equação, obtemos:
Podemos dividir por
(que nunca é zero) e ficamos com a equação característica:
Passo 4
Agora, resolvemos a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Passo 5
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Passo 6
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 7
Aplicando a condição inicial
:
Então,
.
Passo 8
Agora, derivamos
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Substituindo
:
Calculando
Então:
E, portanto,
.
Resposta
A solução do p.v.i. é: