Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem
com duas condições iniciais:
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea
. Para isso, assumimos que a solução tem a forma
, onde
é um número que precisamos encontrar.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Podemos dividir ambos os lados por
(já que
nunca é zero):
Passo 4
Resolvendo a equação característica
:
Passo 5
Com os valores de
, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a primeira condição inicial
:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada da solução geral:
Aplicando a segunda condição inicial
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 8
Temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução do problema é: