Encontre a solução de cada p.v.i. dado: .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com duas condições iniciais: e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea . Para isso, assumimos que a solução tem a forma , onde é um número que precisamos encontrar.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Podemos dividir ambos os lados por (já que nunca é zero):

Passo 4

Resolvendo a equação característica :

Passo 5

Com os valores de , a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a primeira condição inicial :
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 7

Agora, vamos calcular a derivada da solução geral:
Aplicando a segunda condição inicial :
Isso nos dá a segunda equação:

Passo 8

Temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução do problema é:

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Encontre a solução de cada p.v.i. dado:
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a. Resolva o p.v.i.
Verifique se as soluções e são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem o conjunto fundamental de soluções?
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