Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo
ou
que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.
Passo 1
Vamos por partes! A gente tem a equação diferencial
. O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e fatores de integração. Nosso objetivo é ver se conseguimos encontrar um fator de integração que depende só de
ou só de
para tornar essa equação exata, e aí resolver a EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na nossa EDO. Aqui,
Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Então, vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator de integração que vai ajudar a tornar a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator de integração que depende só de
, ou seja,
. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar.
Passo 5
Observando a expressão, percebemos que não é fácil integrar diretamente. Vamos tentar outra abordagem. Vamos assumir que o fator de integração depende apenas de
e multiplicar toda a equação por
:
Queremos que essa nova equação seja exata, ou seja:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas:
Igualando as duas expressões para que a equação seja exata:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial para
:
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para
:
Podemos escolher
sem perda de generalidade, então:
Passo 8
Agora que temos o fator de integração
, vamos multiplicar toda a equação original por ele:
Passo 9
Com a equação multiplicada por
, ela agora é exata. Vamos encontrar uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 10
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Integrando
:
Passo 11
Agora, a função
completa fica:
Para a equação diferencial,
. Assim, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.