Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo ou que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.

Passo 1

Vamos por partes! A gente tem a equação diferencial . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e fatores de integração. Nosso objetivo é ver se conseguimos encontrar um fator de integração que depende só de ou só de para tornar essa equação exata, e aí resolver a EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa EDO. Aqui, Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Então, vamos verificar isso.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais: Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator de integração que vai ajudar a tornar a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator de integração que depende só de , ou seja, . A fórmula para isso é: Substituindo os valores que já calculamos: Isso parece complicado, mas vamos simplificar.

Passo 5

Observando a expressão, percebemos que não é fácil integrar diretamente. Vamos tentar outra abordagem. Vamos assumir que o fator de integração depende apenas de e multiplicar toda a equação por : Queremos que essa nova equação seja exata, ou seja:

Passo 6

Vamos calcular as derivadas: Igualando as duas expressões para que a equação seja exata:

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial para : Integrando ambos os lados: Exponenciando para resolver para : Podemos escolher sem perda de generalidade, então:

Passo 8

Agora que temos o fator de integração , vamos multiplicar toda a equação original por ele:

Passo 9

Com a equação multiplicada por , ela agora é exata. Vamos encontrar uma função tal que: Integrando em relação a : Onde é uma função de .

Passo 10

Agora, derivamos em relação a e igualamos a : Então: Integrando :

Passo 11

Agora, a função completa fica: Para a equação diferencial, . Assim, a solução geral é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

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