Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo ou que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.
Passo 1
Vamos por partes! A gente tem a equação diferencial . O conteúdo aqui é sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e fatores de integração. Nosso objetivo é ver se conseguimos encontrar um fator de integração que depende só de ou só de para tornar essa equação exata, e aí resolver a EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções e na nossa EDO. Aqui,
Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Então, vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar um fator de integração que vai ajudar a tornar a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator de integração que depende só de , ou seja, . A fórmula para isso é:
Substituindo os valores que já calculamos:
Isso parece complicado, mas vamos simplificar.
Passo 5
Observando a expressão, percebemos que não é fácil integrar diretamente. Vamos tentar outra abordagem. Vamos assumir que o fator de integração depende apenas de e multiplicar toda a equação por :
Queremos que essa nova equação seja exata, ou seja:
Passo 6
Vamos calcular as derivadas:
Igualando as duas expressões para que a equação seja exata:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial para :
Integrando ambos os lados:
Exponenciando para resolver para :
Podemos escolher sem perda de generalidade, então:
Passo 8
Agora que temos o fator de integração , vamos multiplicar toda a equação original por ele:
Passo 9
Com a equação multiplicada por , ela agora é exata. Vamos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .
Passo 10
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Integrando :
Passo 11
Agora, a função completa fica:
Para a equação diferencial, . Assim, a solução geral é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.
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relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície Scom uma integral em torno da curva da fronteira S(que é uma curva no espaço). Estamos falando do
A. Teorema de Gauss
B. Teorema de Stokes
C. Teorema de Green
D. Teorema do divergente
E. Teorema de Descartes
Nos exercícios 11 a 18 verifique se é possível encontrar um fator de integração do tipo ou que transforma a EDO dada em uma EDO exata. Em caso afirmativo, determine o fator de integraçāo e resolva a EDO.
Nos exercícios 19 a 22 identifique as equaçōes do tipo Bernoulli e resolva-as.
[lembrando, tipo Bernoulli: constante real]
Considere o P.V.I
Encontre o valor de para o qual a solução toca, mas cruza o eixo dos .