Nos exercícios 19 a 22 identifique as equaçōes do tipo Bernoulli e resolva-as.
[lembrando, tipo Bernoulli:
constante real]
[lembrando, tipo Bernoulli:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação diferencial do tipo
. O conteúdo aqui é sobre equações de Bernoulli, que têm a forma geral
, onde
é uma constante real. Nosso objetivo é identificar se essa equação é do tipo Bernoulli e, se for, resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para ver se ela se encaixa na forma padrão da equação de Bernoulli. A equação original é:
Podemos reorganizar os termos para ficar:
Comparando com a forma de Bernoulli
, vemos que:
Então, confirmamos que é uma equação de Bernoulli com
.
Passo 3
Agora, para resolver a equação de Bernoulli, usamos uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear. A substituição que usamos é:
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
na equação original.
Passo 4
Voltando à equação original reorganizada:
Multiplicamos ambos os lados por
para substituir na expressão de
:
Simplificando cada termo:
Mas, como
, temos
, que pode complicar, então vamos reavaliar nossa substituição.
Passo 5
Na verdade, uma melhor abordagem é considerar a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, usando a substituição
, temos:
Rearranjando:
Substituindo na equação:
Multiplicando tudo por -2 para simplificar:
Isso ainda parece complicado, então vamos tentar uma abordagem direta.
Passo 6
Vamos voltar à equação original e aplicar a substituição correta para a equação de Bernoulli. A substituição correta é:
Então, a derivada de
:
Isolando
:
Substituindo na equação original:
Mas isso ainda está complicado. Parece que houve um erro na abordagem. Vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 7
Peço desculpas pela confusão anterior. Vamos refazer a substituição corretamente. Começamos com:
A equação de Bernoulli é
. Aqui,
. A substituição correta é:
Então, a derivada de
é:
Isolando
:
Substituindo na equação original:
Dividindo tudo por
:
Mas sabemos que
, então
. Isso ainda complica, então parece que precisamos reconsiderar a abordagem.
Passo 8
Vamos tentar resolver a equação de Bernoulli diretamente. A forma padrão é:
Comparando com nossa equação:
Podemos reescrever como:
Ou:
Aqui, temos
,
e
. A substituição para Bernoulli é
. Vamos calcular a derivada de
:
Substituindo
da equação original:
Simplificando:
Como
, temos
. Mas isso ainda precisa ser simplificado para uma equação linear em
. Poderíamos assumir
em termos de
, mas isso torna a resolução mais complexa.
Passo 9
Parece que essa equação específica é mais complicada para resolver diretamente como uma equação de Bernoulli tradicional devido ao termo
. Nesse caso, poderíamos tentar outra abordagem, como procurar uma solução particular ou usar métodos de equações diferenciais não lineares.
No entanto, seguindo a metodologia de Bernoulli, percebemos que a presença do termo
adiciona complexidade, tornando necessário um método mais avançado ou uma substituição adicional para resolver completamente a equação.
Resposta
A equação diferencial
é uma equação de Bernoulli com
. Após aplicar a substituição
e manipular a equação, percebemos que métodos adicionais são necessários para encontrar a solução completa, indicando que a resolução direta por Bernoulli é limitada devido à complexidade introduzida pelo termo
.