Considere que
e
. Se o gás ideal percorre o caminho ACBA , determine:
O trabalho total realizado pelo gás.
O trabalho total realizado pelo gás.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde um gás ideal passa por um caminho específico chamado ACBA. Os dados que a gente tem são:
- Pressão inicial, $ \mathrm{P}_{1} = 7,7 \times 10^{5} , \mathrm{Pa} $
- Pressão final, $ \mathrm{P}_{2} = 2,5 \times 10^{5} , \mathrm{Pa} $
- Volume inicial, $ \mathrm{V}_{1} = 1,0 , \mathrm{m}^{3} $
- Volume final, $ \mathrm{V}_{2} = 3,0 , \mathrm{m}^{3} $
O conteúdo que vamos precisar aqui é da Termodinâmica, especificamente sobre o trabalho realizado por um gás ideal em um ciclo termodinâmico. Vamos usar a fórmula do trabalho em processos que envolvem variação de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um gás durante uma expansão ou compressão pode ser calculado pela integral:
Onde:
- $ W $ é o trabalho
- $ P $ é a pressão
- $ V_i $ e $ V_f $ são os volumes inicial e final
Como estamos lidando com um ciclo ACBA, o gás retorna ao estado inicial, o que significa que o trabalho total será a área dentro desse ciclo no diagrama $ P \times V $.
Passo 3
Vamos visualizar o caminho ACBA:
-
A para C: De $ \mathrm{V}{1} = 1,0 , \mathrm{m}^{3} $ e $ \mathrm{P}{1} = 7,7 \times 10^{5} , \mathrm{Pa} $ até $ \mathrm{V}{2} = 3,0 , \mathrm{m}^{3} $ e $ \mathrm{P}{2} = 2,5 \times 10^{5} , \mathrm{Pa} $.
-
C para B: Mantemos o volume constante em $ \mathrm{V}{2} = 3,0 , \mathrm{m}^{3} $ e a pressão diminui de $ \mathrm{P}{2} $ de volta ao $ \mathrm{P}_{1} $.
-
B para A: Mantemos a pressão constante em $ \mathrm{P}_{1} $ e voltamos ao volume inicial.
Esse caminho forma um retângulo no diagrama $ P \times V $.
Passo 4
Para calcular o trabalho total, que é a área desse retângulo, usamos a fórmula:
Onde:
- $ \Delta V = \mathrm{V}{2} - \mathrm{V}{1} = 3,0 - 1,0 = 2,0 , \mathrm{m}^{3} $
- $ \Delta P = \mathrm{P}{1} - \mathrm{P}{2} = 7,7 \times 10^{5} - 2,5 \times 10^{5} = 5,2 \times 10^{5} , \mathrm{Pa} $
Passo 5
Agora, é só multiplicar essas diferenças para achar a área, que corresponde ao trabalho realizado:
Resposta
O trabalho total realizado pelo gás é de $ 1,04 \times 10^{6} , \mathrm{J} $.