Considere em
(espaço dos polinómios com grau
) o conjunto
.
Determine a forma geral dos vectores
.
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Determine a forma geral dos vectores
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a forma geral dos vetores
que pertencem ao espaço gerado pelo conjunto
no espaço dos polinômios de grau no máximo 2, que chamamos de
.
Aqui, estamos lidando com combinações lineares de vetores (no caso, polinômios) em um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar qualquer vetor em
como uma combinação dos vetores em
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma combinação linear. Se temos um conjunto de vetores
, então qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
onde
e
são números reais (coeficientes escalares).
Passo 3
No nosso caso, os vetores são polinômios:
Então, qualquer polinômio
em
pode ser escrito como:
onde
e
são reais.
Passo 4
Vamos expandir essa expressão para simplificar:
Passo 5
Agora, vamos organizar os termos de acordo com as potências de
:
Isso nos dá a forma geral do polinômio
em termos de
,
e o termo constante.
Resposta
A forma geral dos vetores
é:
onde
e
são números reais.