As equações dos lados de um triângulo são e . Encontrar a equação da circunferência circunscrita.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três equações de retas que formam os lados de um triângulo:
O que a gente precisa encontrar é a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo, ou seja, a circunferência que passa por todos os três vértices do triângulo. Para isso, vamos precisar:
Encontrar as coordenadas dos vértices do triângulo (os pontos de interseção das retas).
Determinar o centro e o raio da circunferência que passa por esses três pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vértices do triângulo resolvendo os sistemas de equações formados pelas retas dadas.
Vértice A: Interseção das retas e .
Vamos resolver esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
A segunda equação permanece:
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos :
Portanto, Vértice A é .
Passo 3
Vértice B: Interseção das retas e .
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação, isolamos :
Substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos :
Portanto, Vértice B é .
Passo 4
Vértice C: Interseção das retas e .
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação, isolamos :
Substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos :
Portanto, Vértice C é .
Passo 5
Agora que temos os três vértices do triângulo: A , B e C , vamos encontrar a equação da circunferência que passa por esses pontos.
A equação geral da circunferência é:
onde é o centro e é o raio.
Para encontrar , e , podemos usar as coordenadas dos vértices substituindo na equação da circunferência, formando um sistema de equações.
Substituindo o ponto A :
Substituindo o ponto B :
Substituindo o ponto C :
Passo 6
Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1), (2) e (3). Primeiramente, subtraímos a equação (1) da equação (2):
Expandindo os termos:
Simplificando:
Agora, subtraímos a equação (1) da equação (3):
Expandindo os termos:
Simplificando:
Passo 7
Agora temos o sistema de duas equações com duas incógnitas:
Podemos resolver esse sistema pelo método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, multiplicamos a equação (5) por 4 para igualar os coeficientes de :
Agora, temos:
Subtraindo a equação (4) da equação (6):
Agora, substituímos na equação (4):
Passo 8
Agora que encontramos e , podemos determinar o raio substituindo esses valores em uma das equações da circunferência. Vamos usar a equação (1):
Simplificando:
Resposta
A equação da circunferência circunscrita ao triângulo é: