As equações dos lados de um triângulo são 9 x+2 y+13=0,3 x+8 y-47=0 e x-y-1=0. Encontrar a equação da circunferência circunscrita.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos três equações de retas que formam os lados de um triângulo:
O que a gente precisa encontrar é a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo, ou seja, a circunferência que passa por todos os três vértices do triângulo. Para isso, vamos precisar:
  • Encontrar as coordenadas dos vértices do triângulo (os pontos de interseção das retas).
  • Determinar o centro e o raio da circunferência que passa por esses três pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos vértices do triângulo resolvendo os sistemas de equações formados pelas retas dadas.
Vértice A: Interseção das retas 27x + 6y + 39 = 0 e 3x + 8y - 47 = 0 .
Vamos resolver esse sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 3 para facilitar a eliminação:
(27x + 6y + 39) - (3x + 8y - 47) = 0 24x - 2y + 86 = 0
A segunda equação permanece:
12x - y + 43 = 0 Rightarrow y = 12x + 43
Agora, subtraímos a segunda equação da primeira:
3x + 8(12x + 43) - 47 = 0 3x + 96x + 344 - 47 = 0 99x + 297 = 0 x = -3
Simplificando:
y = 12(-3) + 43 = -36 + 43 = 7
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos :
Portanto, Vértice A é .

Passo 3

Vértice B: Interseção das retas x = y + 1 e 3(y + 1) + 8y - 47 = 0 3y + 3 + 8y - 47 = 0 11y - 44 = 0 y = 4 .
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação, isolamos x = 4 + 1 = 5 :
Substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos :
Portanto, Vértice B é .

Passo 4

Vértice C: Interseção das retas x = y + 1 e 9(y + 1) + 2y + 13 = 0 9y + 9 + 2y + 13 = 0 11y + 22 = 0 y = -2 .
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação, isolamos x = -2 + 1 = -1 :
Substituímos na primeira equação:
Agora, encontramos :
Portanto, Vértice C é .

Passo 5

Agora que temos os três vértices do triângulo: A (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 , B (-3 - h)^2 + (7 - k)^2 = r^2 (1) e C (5 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2 (2) , vamos encontrar a equação da circunferência que passa por esses pontos.
A equação geral da circunferência é:
(-1 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2 (3)
onde é o centro e é o raio.
Para encontrar , e , podemos usar as coordenadas dos vértices substituindo na equação da circunferência, formando um sistema de equações.
Substituindo o ponto A :
Substituindo o ponto B :
Substituindo o ponto C :

Passo 6

Vamos resolver o sistema formado pelas equações (1), (2) e (3). Primeiramente, subtraímos a equação (1) da equação (2):
(5 - h)^2 + (4 - k)^2 - [(-3 - h)^2 + (7 - k)^2] = 0
Expandindo os termos:
(25 - 10h + h^2) + (16 - 8k + k^2) - [9 + 6h + h^2 + 49 - 14k + k^2] = 0
Simplificando:
25 - 10h + 16 - 8k - 9 - 6h - 49 + 14k = 0 (25 + 16 - 9 - 49) + (-10h - 6h) + (-8k + 14k) = 0 -17 - 16h + 6k = 0 16h - 6k = -17 (4)
Agora, subtraímos a equação (1) da equação (3):
(-1 - h)^2 + (-2 - k)^2 - [(-3 - h)^2 + (7 - k)^2] = 0
Expandindo os termos:
(1 + 2h + h^2) + (4 + 4k + k^2) - [9 + 6h + h^2 + 49 - 14k + k^2] = 0
Simplificando:
1 + 2h + 4 + 4k - 9 - 6h - 49 + 14k = 0 (1 + 4 - 9 - 49) + (2h - 6h) + (4k + 14k) = 0 -53 - 4h + 18k = 0 4h - 18k = -53 (5)

Passo 7

Agora temos o sistema de duas equações com duas incógnitas:
16h - 6k = -17 (4) 4h - 18k = -53 (5)
Podemos resolver esse sistema pelo método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, multiplicamos a equação (5) por 4 para igualar os coeficientes de 16h - 72k = -212 (6) :
16h - 6k = -17 (4) 16h - 72k = -212 (6)
Agora, temos:
(16h - 72k) - (16h - 6k) = -212 - (-17) -66k = -195 k = 19566 = 6522
Subtraindo a equação (4) da equação (6):
16h - 6(6522) = -17 16h - 39022 = -17 16h = -17 + 39022 16h = -37422 + 39022 16h = 1622 = 811 h = 811 times 16 = 8176 = 122
Agora, substituímos na equação (4):

Passo 8

Agora que encontramos (-3 - h)^2 + (7 - k)^2 = r^2 (-3 - 122)^2 + (7 - 6522)^2 = r^2 (-6722)^2 + (154 - 6522)^2 = r^2 (6722)^2 + (8922)^2 = r^2 4489484 + 7921484 = r^2 12410484 = r^2 r^2 = 12410484 = 6205242 e r = raiz6205242 = raiz6205raiz242 = raiz620511raiz2 = raiz620511raiz2 , podemos determinar o raio substituindo esses valores em uma das equações da circunferência. Vamos usar a equação (1):
Simplificando:

Resposta

A equação da circunferência circunscrita ao triângulo é:
(x - 122)^2 + (y - 6522)^2 = 6205242

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