Considere em P2 (espaço dos polinómios com grau <= 2 ) o conjunto S=1+t, 1-t^2.
Mostre que o vector t não é combinação linear dos vectores de S.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2, ou seja, no espaço P2. O conjunto S que temos é formado pelos polinômios 1 + t e 1 - t^2. A questão quer que a gente mostre que o vetor t não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em S. Basicamente, precisamos verificar se existe alguma combinação desses polinômios em S que resulte exatamente em t.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é quando você multiplica cada vetor por um número (coeficiente) e depois soma todos eles. Aqui, queremos encontrar coeficientes a e b tais que:
a(1 + t) + b(1 - t^2) = t

Passo 3

Vamos expandir a expressão:
a cdot 1 + a cdot t + b cdot 1 - b cdot t^2 = t
Simplificando, temos:
(a + b) + a t - b t^2 = t

Passo 4

Agora, para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de t, os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação devem ser iguais. Ou seja:
  • O termo constante: a + b deve ser igual a 0 (pois não há termo constante no lado direito).
  • O coeficiente de t: a deve ser igual a 1.
  • O coeficiente de t^2: -b deve ser igual a 0 (pois não há termo t^2 no lado direito).
Então, temos o sistema de equações:
a + b = 0 a = 1 - b = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação, temos a = 1.
  2. Da terceira equação, -b = 0 implica que b = 0.
  3. Substituindo a = 1 e b = 0 na primeira equação: 1 + 0 = 1, que não satisfaz a + b = 0.

Passo 6

Como não encontramos valores de a e b que satisfaçam todas as equações simultaneamente, concluímos que não existe uma combinação linear dos polinômios em S que resulte exatamente em t.

Resposta

Portanto, o vetor t não é uma combinação linear dos vetores do conjunto S = 1 + t, 1 - t^2.

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