Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
Mostre que o vector não é combinação linear dos vectores de .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2, ou seja, no espaço . O conjunto que temos é formado pelos polinômios e . A questão quer que a gente mostre que o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Basicamente, precisamos verificar se existe alguma combinação desses polinômios em que resulte exatamente em .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é quando você multiplica cada vetor por um número (coeficiente) e depois soma todos eles. Aqui, queremos encontrar coeficientes e tais que:

Passo 3

Vamos expandir a expressão:
Simplificando, temos:

Passo 4

Agora, para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação devem ser iguais. Ou seja:
  • O termo constante: deve ser igual a 0 (pois não há termo constante no lado direito).
  • O coeficiente de : deve ser igual a 1.
  • O coeficiente de : deve ser igual a 0 (pois não há termo no lado direito).
Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema:
  1. Da segunda equação, temos .
  2. Da terceira equação, implica que .
  3. Substituindo e na primeira equação: , que não satisfaz .

Passo 6

Como não encontramos valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente, concluímos que não existe uma combinação linear dos polinômios em que resulte exatamente em .

Resposta

Portanto, o vetor não é uma combinação linear dos vetores do conjunto .

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(i)
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;
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(i)