Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
Mostre que o vector não é combinação linear dos vectores de .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com polinômios de grau no máximo 2, ou seja, no espaço . O conjunto que temos é formado pelos polinômios e . A questão quer que a gente mostre que o vetor não pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Basicamente, precisamos verificar se existe alguma combinação desses polinômios em que resulte exatamente em .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma combinação linear. Uma combinação linear de vetores (ou polinômios, no nosso caso) é quando você multiplica cada vetor por um número (coeficiente) e depois soma todos eles. Aqui, queremos encontrar coeficientes e tais que:
Passo 3
Vamos expandir a expressão:
Simplificando, temos:
Passo 4
Agora, para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de , os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação devem ser iguais. Ou seja:
O termo constante: deve ser igual a 0 (pois não há termo constante no lado direito).
O coeficiente de : deve ser igual a 1.
O coeficiente de : deve ser igual a 0 (pois não há termo no lado direito).
Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema:
Da segunda equação, temos .
Da terceira equação, implica que .
Substituindo e na primeira equação: , que não satisfaz .
Passo 6
Como não encontramos valores de e que satisfaçam todas as equações simultaneamente, concluímos que não existe uma combinação linear dos polinômios em que resulte exatamente em .
Resposta
Portanto, o vetor não é uma combinação linear dos vetores do conjunto .