Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(i)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a inversa da matriz
usando operações elementares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a técnica de matrizes aumentadas e operações de linha para encontrar a inversa.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a inversa de uma matriz
existe se o determinante de
for diferente de zero. Para matrizes 2x2, o determinante é calculado assim:
onde
.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz
:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a inversa existe.
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz aumentada
, onde
é a matriz identidade 2x2:
Passo 5
O objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada em uma matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar dividindo a primeira linha por 3 para ter um 1 na posição (1,1):
Passo 6
Agora, vamos eliminar o 1 na posição (2,1) subtraindo a primeira linha da segunda:
Passo 7
Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por 3 para ter um 1 na posição (2,2):
Passo 8
Agora, vamos eliminar o
na posição (1,2) subtraindo
vezes a segunda linha da primeira:
Resposta
A inversa da matriz
é: