Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(i)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a inversa da matriz usando operações elementares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a técnica de matrizes aumentadas e operações de linha para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a inversa de uma matriz existe se o determinante de for diferente de zero. Para matrizes 2x2, o determinante é calculado assim:
onde .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz :
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a inversa existe.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz aumentada , onde é a matriz identidade 2x2:

Passo 5

O objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada em uma matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar dividindo a primeira linha por 3 para ter um 1 na posição (1,1):

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 1 na posição (2,1) subtraindo a primeira linha da segunda:

Passo 7

Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por 3 para ter um 1 na posição (2,2):

Passo 8

Agora, vamos eliminar o na posição (1,2) subtraindo vezes a segunda linha da primeira:

Resposta

A inversa da matriz é:

Exercícios relacionados

Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
;
Resolva as equações:
(ii)
Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
Mostre que o vector não é combinação linear dos vectores de .
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.