Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(i) A=(ll3 & 5 1 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a inversa da matriz 3 & 5 1 & 2 usando operações elementares. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a técnica de matrizes aumentadas e operações de linha para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a inversa de uma matriz det(A) = ad - bc existe se o determinante de a & b c & d for diferente de zero. Para matrizes 2x2, o determinante é calculado assim:
onde .

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz det(A) = (3)(2) - (5)(1) = 6 - 5 = 1 :
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a inversa existe.

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz aumentada 3 & 5 & | & 1 & 0 1 & 2 & | & 0 & 1 , onde é a matriz identidade 2x2:

Passo 5

O objetivo é transformar a parte esquerda da matriz aumentada em uma matriz identidade usando operações de linha. Vamos começar dividindo a primeira linha por 3 para ter um 1 na posição (1,1):
R1 = R13
1 & 53 & | & 13 & 0 1 & 2 & | & 0 & 1

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 1 na posição (2,1) subtraindo a primeira linha da segunda:
R2 = R2 - R1
1 & 53 & | & 13 & 0 0 & 13 & | & -13 & 1

Passo 7

Em seguida, vamos multiplicar a segunda linha por 3 para ter um 1 na posição (2,2):
R2 = 3 times R2
1 & 53 & | & 13 & 0 0 & 1 & | & -1 & 3

Passo 8

Agora, vamos eliminar o R1 = R1 - 53 times R2 na posição (1,2) subtraindo 1 & 0 & | & 2 & -5 0 & 1 & | & -1 & 3 vezes a segunda linha da primeira:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 2 & -5 -1 & 3 é:

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