Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se o conjunto de vetores em é linearmente independente. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se nenhum vetor do conjunto pode ser formado como combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Imagine que a gente tem alguns vetores, a gente pode multiplicar cada vetor por um número (chamamos isso de escalar) e depois somar esses resultados. Se a única maneira de obter o vetor zero é usando todos os escalares iguais a zero, então os vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos obter o vetor zero com alguns escalares diferentes de zero, eles são linearmente dependentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
Agora, nosso objetivo é ver se essa matriz tem rank igual a 4 (o que indica que os vetores são independentes) ou menor que 4 (o que indica dependência).

Passo 4

Vamos fazer eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Isso envolve usar operações nas linhas para zerar os elementos abaixo do pivô (o primeiro número diferente de zero em uma linha).
Primeiro, subtraímos a primeira linha das demais:

Passo 5

Agora, vamos trocar a segunda e a quarta linha para facilitar:

Passo 6

Podemos ver que cada coluna tem um pivô (um 1 ou -1), o que indica que todas as colunas são lineares independentes. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser formado a partir dos outros.

Resposta

O conjunto em é linearmente independente.

Exercícios relacionados

Resolva as equações:
(ii)
Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
;
Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(i)
Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
Mostre que o vector não é combinação linear dos vectores de .