Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se o conjunto de vetores em é linearmente independente. Para isso, vamos usar o conceito de independência linear, que basicamente verifica se nenhum vetor do conjunto pode ser formado como combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa combinação linear. Imagine que a gente tem alguns vetores, a gente pode multiplicar cada vetor por um número (chamamos isso de escalar) e depois somar esses resultados. Se a única maneira de obter o vetor zero é usando todos os escalares iguais a zero, então os vetores são linearmente independentes. Se conseguirmos obter o vetor zero com alguns escalares diferentes de zero, eles são linearmente dependentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
Agora, nosso objetivo é ver se essa matriz tem rank igual a 4 (o que indica que os vetores são independentes) ou menor que 4 (o que indica dependência).
Passo 4
Vamos fazer eliminação de Gauss para reduzir a matriz a uma forma mais simples. Isso envolve usar operações nas linhas para zerar os elementos abaixo do pivô (o primeiro número diferente de zero em uma linha).
Podemos ver que cada coluna tem um pivô (um 1 ou -1), o que indica que todas as colunas são lineares independentes. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser formado a partir dos outros.
Resposta
O conjunto (1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,0), (1,0,0,0) em R^4 é linearmente independente.