Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
b) A^2-B^2=(A+B)(A-B)

Passo 1

Vamos analisar a proposição: . Estamos trabalhando com matrizes quadradas e vamos utilizar conceitos da álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes e propriedades de distribuição.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para números reais, a identidade é verdadeira. Mas nas matrizes, a multiplicação não é comutativa, ou seja, nem sempre é igual a . Isso pode afetar a validade da identidade.

Passo 3

Vamos expandir o lado direito da proposição:
(A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2
Para que , precisaríamos que , ou seja, .

Passo 4

Nem todas as matrizes quadradas comutam. Vamos dar um contra-exemplo para mostrar que a proposição nem sempre é verdadeira.
Considere as matrizes:
A = 0 & 1 0 & 0 , B = 0 & 0 1 & 0
Calculamos A^2 = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 , B^2 = 0 & 0 1 & 0 0 & 0 1 & 0 = 0 & 0 0 & 0 e 0 & 0 0 & 0 :
A + B = 0 & 1 1 & 0 , A - B = 0 & 1 -1 & 0
Então, (A + B)(A - B) = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 -1 & 0 = -1 & 0 0 & 1 .
Agora, calculamos :
Multiplicando:
Claramente, .

Resposta

Falso. A igualdade não é verdadeira para todas as matrizes quadradas e . O contra-exemplo apresentado mostra que a identidade falha quando .

Exercícios relacionados