Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
Passo 1
Vamos analisar a proposição:
. Estamos trabalhando com matrizes quadradas e vamos utilizar conceitos da álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes e propriedades de distribuição.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para números reais, a identidade
é verdadeira. Mas nas matrizes, a multiplicação não é comutativa, ou seja,
nem sempre é igual a
. Isso pode afetar a validade da identidade.
Passo 3
Vamos expandir o lado direito da proposição:
Para que
, precisaríamos que
, ou seja,
.
Passo 4
Nem todas as matrizes quadradas comutam. Vamos dar um contra-exemplo para mostrar que a proposição nem sempre é verdadeira.
Considere as matrizes:
Calculamos
e
:
Então,
.
Agora, calculamos
:
Multiplicando:
Claramente,
.
Resposta
Falso. A igualdade
não é verdadeira para todas as matrizes quadradas
e
. O contra-exemplo apresentado mostra que a identidade falha quando
.
Exercícios relacionados
Considere em
(espaço dos polinómios com grau
) o conjunto
.
Mostre que o vector não é combinação linear dos vectores de
.
Mostre que o vector
Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(i)
(i)
Resolva as equações:
(i)
(i)
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.