Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.

Passo 1

Vamos analisar a proposição: . Estamos trabalhando com matrizes quadradas e vamos utilizar conceitos da álgebra de matrizes, especificamente a multiplicação de matrizes e propriedades de distribuição.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para números reais, a identidade é verdadeira. Mas nas matrizes, a multiplicação não é comutativa, ou seja, nem sempre é igual a . Isso pode afetar a validade da identidade.

Passo 3

Vamos expandir o lado direito da proposição:
Para que , precisaríamos que , ou seja, .

Passo 4

Nem todas as matrizes quadradas comutam. Vamos dar um contra-exemplo para mostrar que a proposição nem sempre é verdadeira.
Considere as matrizes:
Calculamos e :
Então, .
Agora, calculamos :
Multiplicando:
Claramente, .

Resposta

Falso. A igualdade não é verdadeira para todas as matrizes quadradas e . O contra-exemplo apresentado mostra que a identidade falha quando .

Exercícios relacionados

Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto .
Mostre que o vector não é combinação linear dos vectores de .
Utilizando operações elementares, calcule a inversa das seguintes matrizes
(i)
Resolva as equações:
(i)
Sejam A, B e C matrizes quadradas. Determine se as seguintes proposições são V ou F, demonstrando quando verdadeiras ou dando um contra-exemplo se falsas.
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