Considere em P2 (espaço dos polinómios com grau <= 2 ) o conjunto S=1+t, 1-t^2. O conjunto S gera P2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para ver se o conjunto consegue “gerar” todo o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Basicamente, queremos saber se qualquer polinômio com grau até 2 pode ser feito combinando os polinômios em . Para isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios e ver se conseguimos representar um polinômio geral de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . É o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos na forma , onde , e são números reais. Queremos ver se qualquer polinômio dessa forma pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios em .

Passo 3

Vamos supor que conseguimos escrever um polinômio qualquer x(1 + t) + y(1 - t^2) = a + bt + ct^2 como uma combinação linear dos elementos de . Isso significa que existem coeficientes e tais que:

Passo 4

Agora, vamos expandir a expressão do lado esquerdo:
x cdot 1 + x cdot t + y cdot 1 - y cdot t^2 = a + bt + ct^2
Isso simplifica para:
(x + y) + (x)t + (-y)t^2 = a + bt + ct^2

Passo 5

Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
x + y = a x = b - y = c

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da segunda equação, .
  2. Da terceira equação, .
  3. Substituindo e na primeira equação: , ou seja, .

Passo 7

O que isso significa? Que para qualquer polinômio poder ser gerado por , o coeficiente tem que ser igual a . Porém, na , , e podem ser quaisquer números reais, sem restrições.

Passo 8

Portanto, nem todo polinômio em pode ser obtido a partir de , já que há uma condição que relaciona , e que nem sempre é satisfeita.

Resposta

Não, o conjunto não gera todo o espaço .

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