Considere em (espaço dos polinómios com grau ) o conjunto . O conjunto gera ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para ver se o conjunto consegue “gerar” todo o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2. Basicamente, queremos saber se qualquer polinômio com grau até 2 pode ser feito combinando os polinômios em . Para isso, vamos precisar entender como combinar esses polinômios e ver se conseguimos representar um polinômio geral de .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é . É o conjunto de todos os polinômios que podem ser escritos na forma , onde , e são números reais. Queremos ver se qualquer polinômio dessa forma pode ser escrito como uma combinação linear dos polinômios em .
Passo 3
Vamos supor que conseguimos escrever um polinômio qualquer como uma combinação linear dos elementos de . Isso significa que existem coeficientes e tais que:
Passo 4
Agora, vamos expandir a expressão do lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Passo 5
Para que as duas expressões sejam iguais, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, .
Da terceira equação, .
Substituindo e na primeira equação: , ou seja, .
Passo 7
O que isso significa? Que para qualquer polinômio poder ser gerado por , o coeficiente tem que ser igual a . Porém, na , , e podem ser quaisquer números reais, sem restrições.
Passo 8
Portanto, nem todo polinômio em pode ser obtido a partir de , já que há uma condição que relaciona , e que nem sempre é satisfeita.