Escreva, se possível, o vetor p(x)=6 x^2+11 x+6 in P^2(R) (espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2) como combinação linerar de p1(x)=4 x^2+ x+2, p2(x)=3 x^2-x+1, p3(x)=5 x^2+2 x+3

Passo 1

Então, a gente tem um polinômio que está no espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2, ou seja, . O exercício quer que a gente escreva esse polinômio como uma combinação linear de três outros polinômios: , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar coeficientes p(x) = a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) , 6x^2 + 11x + 6 = a(4x^2 + x + 2) + b(3x^2 - x + 1) + c(5x^2 + 2x + 3) e tais que:
Substituindo os polinômios, temos:

Passo 3

Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
6x^2 + 11x + 6 = (4a)x^2 + (a)x + (2a) + (3b)x^2 + (-b)x + (b) + (5c)x^2 + (2c)x + (3c)

Passo 4

Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
6x^2 + 11x + 6 = (4a + 3b + 5c)x^2 + (a - b + 2c)x + (2a + b + 3c)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
4a + 3b + 5c = 6 (coeficiente de x^2) a - b + 2c = 11 (coeficiente de x) 2a + b + 3c = 6 (termo constante)

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vamos usar a eliminação.
Primeira equação: (a - b + 2c) + (2a + b + 3c) = 11 + 6 3a + 5c = 17 (Equação 4)
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos somar a segunda e a terceira equação para eliminar :
çã

Passo 7

Agora, vamos multiplicar a terceira equação por 3 para facilitar a eliminação:
3(2a + b + 3c) = 3 cdot 6 6a + 3b + 9c = 18 (Equação 5) çã
Agora, subtraímos a primeira equação da equação 5:
(6a + 3b + 9c) - (4a + 3b + 5c) = 18 - 6 2a + 4c = 12 (Equação 6) çã

Passo 8

Agora, temos as equações 4 e 6:
3a + 5c = 17 2a + 4c = 12
Vamos multiplicar a segunda equação por 32(2a + 4c) = 32 cdot 12 3a + 6c = 18 (Equação 7) para alinhar os coeficientes de (3a + 6c) - (3a + 5c) = 18 - 17 c = 1 :
çã
Agora, subtraímos a equação 4 da equação 7:

Passo 9

Com 3a + 5(1) = 17 3a + 5 = 17 3a = 12 a = 4 , substituímos na equação 4 para encontrar :

Passo 10

Agora, com 4 - b + 2(1) = 11 4 - b + 2 = 11 6 - b = 11 -b = 5 b = -5 e , substituímos na segunda equação original para encontrar :

Resposta

Os coeficientes são p(x) = 4 cdot p1(x) - 5 cdot p2(x) + 1 cdot p3(x) , 6x^2 + 11x + 6 = 4(4x^2 + x + 2) - 5(3x^2 - x + 1) + 1(5x^2 + 2x + 3) e . Portanto, o vetor pode ser escrito como:
Ou seja,

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