Escreva, se possível, o vetor (espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2) como combinação linerar de
Passo 1
Então, a gente tem um polinômio que está no espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2, ou seja, . O exercício quer que a gente escreva esse polinômio como uma combinação linear de três outros polinômios: , e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinações lineares e sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar coeficientes , e tais que:
Substituindo os polinômios, temos:
Passo 3
Agora, vamos expandir a expressão do lado direito:
Passo 4
Em seguida, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau dos dois lados da equação:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vamos usar a eliminação.
Primeira equação: (a - b + 2c) + (2a + b + 3c) = 11 + 6 3a + 5c = 17 (Equação 4)
Segunda equação:
Terceira equação:
Vamos somar a segunda e a terceira equação para eliminar :
çã
Passo 7
Agora, vamos multiplicar a terceira equação por 3 para facilitar a eliminação: