Sejam A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). Calcule:
(a) [\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}]-|\overrightarrow{A B}|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro pontos no espaço: A=(1,0,2), B=(-1,1,1), C=(0,1,-1) e D=(2,0,-2). A pergunta é para calcular:
[AB, AC, AD] - |AB|
O conteúdo que vamos precisar aqui envolve vetores no espaço, produto vetorial e produto misto (também chamado de produto escalar triplo), além de calcular a norma (ou módulo) de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores AB = B - A = (-1 - 1, 1 - 0, 1 - 2) = (-2, 1, -1) , AC = C - A = (0 - 1, 1 - 0, -1 - 2) = (-1, 1, -3) e AD = D - A = (2 - 1, 0 - 0, -2 - 2) = (1, 0, -4) . Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B, C e D, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto misto [AB, AC, AD] = -2 & -1 & 1 1 & 1 & 0 -1 & -3 & -4 . O produto misto de três vetores é igual ao determinante da matriz formada por esses vetores. Ou seja:
= -2 times 1 & 0 -3 & -4 - (-1) times 1 & 0 -1 & -4 + 1 times 1 & 1 -1 & -3
Vamos calcular esse determinante:
= -2 times (1 times (-4) - 0 times (-3)) + 1 times (1 times (-4) - 0 times (-1)) + 1 times (1 times (-3) - 1 times (-1))
= -2 times (-4) + 1 times (-4) + 1 times (-3 + 1)
= 8 - 4 - 2 = 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 , que é a magnitude do vetor |AB| = raiz(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 approx 2,45 . A fórmula para a norma de um vetor é:
Aplicando isso a :

Resposta

Portanto, o valor de 2 - raiz6 approx 2 - 2,45 = -0,45 é:

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