Sejam V um espaço Euclidiano. Mostre que:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas equivalências envolvendo normas e produtos internos de vetores em um espaço Euclidiano. Para isso, vamos precisar entender como as normas e os produtos internos funcionam e como eles se relacionam. Vamos passo a passo para não deixar nada de fora!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um espaço Euclidiano, a norma de um vetor
, representada por
, é uma medida do “tamanho” desse vetor. O produto interno, denotado por
, mede o quanto dois vetores estão “alinhados” ou “relacionados” entre si.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte da questão:
Queremos mostrar que a norma de
é igual à norma de
se e somente se o produto interno de
com
for zero.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o produto interno
:
Sabemos que
e
, além de
. Então:
Passo 5
Agora, queremos que esse produto interno seja igual a zero:
Então, mostramos que
implica que
. A conversa também funciona, ou seja, se
, então
.
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte da questão:
Aqui, queremos mostrar que a norma do vetor
ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado de
e
se e somente se o produto interno de
e
é zero.
Passo 7
Vamos expandir a norma de
:
Passo 8
Queremos que
. Substituindo na expressão acima:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso mostra que se
, então
. A direção inversa também é verdadeira: se
, então
.
Resposta
Portanto, mostramos que: