Sejam V um espaço Euclidiano. Mostre que:
  1. |u|=|v| Leftrightarrowlang<= u+v, u-vrang<==0
  2. |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 Leftrightarrowlang<= u, vrang<==0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar duas equivalências envolvendo normas e produtos internos de vetores em um espaço Euclidiano. Para isso, vamos precisar entender como as normas e os produtos internos funcionam e como eles se relacionam. Vamos passo a passo para não deixar nada de fora!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um espaço Euclidiano, a norma de um vetor , representada por , é uma medida do “tamanho” desse vetor. O produto interno, denotado por , mede o quanto dois vetores estão “alinhados” ou “relacionados” entre si.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte da questão:
|u| = |v| Leftrightarrow lang<= u + v, u - v rang<= = 0
Queremos mostrar que a norma de é igual à norma de se e somente se o produto interno de com for zero.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto interno lang<= u + v, u - v rang<= = lang<= u, u rang<= - lang<= u, v rang<= + lang<= v, u rang<= - lang<= v, v rang<= :
lang<= u + v, u - v rang<= = |u|^2 - |v|^2
Sabemos que e , além de . Então:

Passo 5

Agora, queremos que esse produto interno seja igual a zero:
|u|^2 - |v|^2 = 0 Rightarrow |u|^2 = |v|^2 Rightarrow |u| = |v|
Então, mostramos que implica que . A conversa também funciona, ou seja, se , então .

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte da questão:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 Leftrightarrow lang<= u, v rang<= = 0
Aqui, queremos mostrar que a norma do vetor ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado de e se e somente se o produto interno de e é zero.

Passo 7

Vamos expandir a norma de |u + v|^2 = lang<= u + v, u + v rang<= = lang<= u, u rang<= + 2lang<= u, v rang<= + lang<= v, v rang<= = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 :

Passo 8

Queremos que |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 = |u|^2 + |v|^2 . Substituindo na expressão acima:
2lang<= u, v rang<= = 0 Rightarrow lang<= u, v rang<= = 0
Subtraindo de ambos os lados:
Isso mostra que se , então . A direção inversa também é verdadeira: se , então .

Resposta

Portanto, mostramos que:

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