Seja V um espaço Euclidiano. Mostre as seguintes identidades
-
para todo
-
para todo
-
, para todo
e sendo
o ângulo entre
e
Passo 1
Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espços euclidianos, que basicamente são espaços onde podemos medir distâncias e ângulos, usando produtos internos (ou “dot products”). O que precisamos fazer aqui é mostrar três identidades que relacionam normas de vetores e seus produtos internos. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas do produto interno e manipular as expressões algébricas para chegar nas igualdades desejadas.
Passo 2
Vamos começar com a primeira identidade:
Primeiro, vamos lembrar que a norma ao quadrado de um vetor
é equivalente ao produto interno dele consigo mesmo:
Então, aplicando isso aos vetores
e
:
Agora, vamos substituir essas expressões na identidade que queremos provar:
Simplificando:
Os termos
e
se cancelam, assim como
e
. Fica então:
Prontinho! Provamos a primeira identidade.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda identidade:
Já calculamos
e
no passo anterior:
Somando essas duas expressões:
Os termos
e
se cancelam, ficando:
A identidade está provada!
Passo 4
Chegamos à terceira identidade:
Aqui, vamos lembrar da Lei do Cosseno no contexto de produtos internos. Sabemos que:
Usando o que já calculamos para
:
Substituindo
:
E simplificando:
Pronto! A terceira identidade também está provada.
Resposta
Com isso, mostramos que todas as três identidades são verdadeiras em um espaço euclidiano
.