Seja V um espaço Euclidiano. Mostre as seguintes identidades
  1. 14|u+v|^2-14|u-v|^2=lang<= u, vrang<= para todo u, v in V
  2. |u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2) para todo u, v in V
  3. |u+v|^2=|u|^2+|v|^2+2|u||v| cos theta, para todo u, v in V e sendo theta o ângulo entre u e v

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente está trabalhando com espços euclidianos, que basicamente são espaços onde podemos medir distâncias e ângulos, usando produtos internos (ou “dot products”). O que precisamos fazer aqui é mostrar três identidades que relacionam normas de vetores e seus produtos internos. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas do produto interno e manipular as expressões algébricas para chegar nas igualdades desejadas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira identidade:
14|u+v|^2 - 14|u-v|^2 = lang<= u, v rang<=
Primeiro, vamos lembrar que a norma ao quadrado de um vetor |w|^2 = lang<= w, w rang<= é equivalente ao produto interno dele consigo mesmo:
|u+v|^2 = lang<= u+v, u+v rang<= = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2
Então, aplicando isso aos vetores |u-v|^2 = lang<= u-v, u-v rang<= = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 e 14(|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) - 14(|u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) :
14|u|^2 + 12lang<= u, v rang<= + 14|v|^2 - 14|u|^2 + 12lang<= u, v rang<= - 14|v|^2
12lang<= u, v rang<= + 12lang<= u, v rang<= = lang<= u, v rang<=
Agora, vamos substituir essas expressões na identidade que queremos provar:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, assim como e . Fica então:
Prontinho! Provamos a primeira identidade.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda identidade:
|u+v|^2 + |u-v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)
Já calculamos |u+v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 e |u-v|^2 = |u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 no passo anterior:
|u+v|^2 + |u-v|^2 = (|u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2) + (|u|^2 - 2lang<= u, v rang<= + |v|^2)
2|u|^2 + 2|v|^2 = 2(|u|^2 + |v|^2)
Somando essas duas expressões:
Os termos e se cancelam, ficando:
A identidade está provada!

Passo 4

Chegamos à terceira identidade:
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| cos theta
Aqui, vamos lembrar da Lei do Cosseno no contexto de produtos internos. Sabemos que:
lang<= u, v rang<= = |u| |v| cos theta
Usando o que já calculamos para |u+v|^2 = |u|^2 + 2lang<= u, v rang<= + |v|^2 :
|u+v|^2 = |u|^2 + 2(|u||v| cos theta) + |v|^2
Substituindo |u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v| cos theta :
E simplificando:
Pronto! A terceira identidade também está provada.

Resposta

Com isso, mostramos que todas as três identidades são verdadeiras em um espaço euclidiano .

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