Considere a parábola retorcida
representada por
entre os pontos
e
.
(a) Calcule o comprimento desta curva.
(a) Calcule o comprimento desta curva.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o comprimento de uma curva chamada parábola retorcida, representada pela função vetorial
, entre os pontos
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica
no intervalo de
a
, usamos a fórmula:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.
Passo 3
Vamos identificar as funções
,
e
da nossa curva:
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração
e
. Sabemos que a curva vai de
a
. Vamos achar o valor de
correspondente ao ponto final
.
Igualando as componentes:
Portanto,
e
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:
Resposta
O comprimento da curva
entre os pontos
e
é 15 unidades.
Exercícios relacionados
Use o Teorema do Divergente para calcular
em que
e
é a superfície do sólido
com
e
.
Use o Teorema de Stokes para calcular
em que
é a curva parametrizada por
, sen
. Dica: lembre-se que
.