Considere a parábola retorcida C representada por r(t) = (t^3/3, 2t, t^2) entre os pontos (0, 0, 0) e 9,6,9.
(a) Calcule o comprimento desta curva.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para calcular o comprimento de uma curva chamada parábola retorcida, representada pela função vetorial , entre os pontos e . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de comprimento de arco de uma curva paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o comprimento de uma curva paramétrica no intervalo de a , usamos a fórmula:
Essa fórmula basicamente soma todos os pequenos pedaços da curva para encontrar o comprimento total.

Passo 3

Vamos identificar as funções , e da nossa curva:
Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração e . Sabemos que a curva vai de a . Vamos achar o valor de correspondente ao ponto final .
Igualando as componentes:
Portanto, e .

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Então:

Resposta

O comprimento da curva entre os pontos e é 15 unidades.

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