Use o Teorema do Divergente para calcular
em que
e
é a superfície do sólido
com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema do Divergente para calcular uma integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície
. O campo vetorial é
, e a superfície
é parte de uma esfera com equação
, mas só onde
e
. Então, vamos precisar conhecer o Teorema do Divergente e saber como aplicá-lo nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Divergente. Esse teorema nos permite transformar uma integral de superfície da forma
em uma integral de volume, facilitando os cálculos. A fórmula do teorema é:
Onde
é a divergência do campo vetorial
e
é o volume limitado pela superfície
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Onde
. Então:
-
-
-
(já que não depende de )
Então:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos montar a integral de volume. Nosso volume
é a região dentro da esfera
onde
e
. Para facilitar a integração, podemos usar coordenadas esféricas, mas considerando as restrições de
e
.
Em coordenadas esféricas:
Onde
varia de
a
(raio da esfera),
de
a
(já que
) e
de
a
(já que
).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 5
Vamos expressar a divergência
em coordenadas esféricas:
Agora, a integral de volume fica:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Integral em
:
Fazendo substituição
,
:
Portanto, toda a integral de volume será zero.