Use o Teorema do Divergente para calcular
integral duplaS F cdot d S
em que F(x, y, z)=(y x^2, x y^2-3 z^4, x^3+y^2) e S é a superfície do sólido x^2+y^2+z^2=16 com z <= 0 e y <= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o Teorema do Divergente para calcular uma integral de superfície de um campo vetorial F sobre uma superfície S. O campo vetorial é F(x, y, z)=(y x^2, x y^2-3 z^4, x^3+y^2), e a superfície S é parte de uma esfera com equação x^2+y^2+z^2=16, mas só onde z <= 0 e y <= 0. Então, vamos precisar conhecer o Teorema do Divergente e saber como aplicá-lo nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Divergente. Esse teorema nos permite transformar uma integral de superfície da forma integral duplaS F cdot dS em uma integral de volume, facilitando os cálculos. A fórmula do teorema é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Onde nabla cdot F é a divergência do campo vetorial F e V é o volume limitado pela superfície S.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde F = (Fx, Fy, Fz). Então:
  • Fx = y x^2 Rightarrow partial Fxpartial x = 2xy
  • Fy = x y^2 - 3 z^4 Rightarrow partial Fypartial y = 2xy
  • Fz = x^3 + y^2 Rightarrow partial Fzpartial z = 0 (já que não depende de z)
Então:
nabla cdot F = 2xy + 2xy + 0 = 4xy

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos montar a integral de volume. Nosso volume V é a região dentro da esfera x^2+y^2+z^2=16 onde z <= 0 e y <= 0. Para facilitar a integração, podemos usar coordenadas esféricas, mas considerando as restrições de y e z.
Em coordenadas esféricas:
  • x = r sinphi costheta
  • y = r sinphi sintheta
  • z = r cosphi
Onde r varia de 0 a 4 (raio da esfera), phi de pi2 a pi (já que z <= 0) e theta de pi2 a 3pi2 (já que y <= 0).
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
dV = r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta

Passo 5

Vamos expressar a divergência 4xy em coordenadas esféricas:
4xy = 4(r sinphi costheta)(r sinphi sintheta) = 4r^2 sin^2phi costheta sintheta
Agora, a integral de volume fica:
integral triplaV 4r^2 sin^2phi costheta sintheta cdot r^2 sinphi , dr , dphi , dtheta = 4 integral0^4 r^4 dr integralpi2^pi sin^3phi , dphi integralpi2^3pi2 costheta sintheta , dtheta
Vamos resolver cada integral separadamente.
Integral em theta:
integralpi2^3pi2 costheta sintheta , dtheta
Fazendo substituição u = sintheta, du = costheta dtheta:
integral u , du = u^22 g|pi2^3pi2 = sin^2theta2 g|pi2^3pi2 = (sin3pi2)^2 - (sinpi2)^22 = ( -1 )^2 - (1)^22 = 1 - 12 = 0
Portanto, toda a integral de volume será zero.

Resposta

0

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