Use o Teorema de Stokes para calcular
em que
é a curva parametrizada por
, sen
. Dica: lembre-se que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá um campo vetorial
e uma curva
parametrizada. Nosso objetivo é calcular a integral de linha do campo
ao longo da curva
usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional do campo vetorial e escolher uma superfície adequada que tenha
como contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície
que tem
como fronteira. A fórmula é:
Onde:
-
é o rotacional de . -
é o vetor normal à superfície . -
é o elemento de área da superfície.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional do campo vetorial
. O rotacional de um campo
é dado por:
No nosso caso,
. Então:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos escolher uma superfície
cuja borda seja a curva
. Olhando para a parametrização de
, vemos que ela está no espaço, mas para simplificar, podemos projetar
no plano
. Então, vamos escolher a superfície
como o disco no plano
de raio 4 (já que
e ).
Para o disco no plano
, o vetor normal
é simplesmente
, pois está perpendicular ao plano
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de superfície:
Substituindo
e
:
Então, a integral se simplifica para:
A área do disco de raio 4 é:
Portanto:
Resposta
A integral de linha solicitada é
.
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Use o Teorema do Divergente para calcular
em que
e
é a superfície do sólido
com
e
.
Considere a parábola retorcida
representada por
entre os pontos
e
.
(a) Calcule o comprimento desta curva.
(a) Calcule o comprimento desta curva.