Use o Teorema de Stokes para calcular
F(x, y, z)=integralC(y+sen(x)) d x+(z^2+cos (y)) d y+43 x^3 d z
em que C é a curva parametrizada por r(t)=(4 cos (t), 4 sen(t), sen (2 t)), 0 <= t <= 2 pi. Dica: lembre-se que sen(2 theta)=2 cos (theta) sen(theta).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá um campo vetorial F(x, y, z) e uma curva C parametrizada. Nosso objetivo é calcular a integral de linha do campo F ao longo da curva C usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional do campo vetorial e escolher uma superfície adequada que tenha C como contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada C com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície S que tem C como fronteira. A fórmula é:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde:
  • nabla times F é o rotacional de F.
  • n é o vetor normal à superfície S.
  • dS é o elemento de área da superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo vetorial F. O rotacional de um campo F = (P, Q, R) é dado por:
nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z, partial Ppartial z - partial Rpartial x, partial Qpartial x - partial Ppartial y )
No nosso caso, F(x, y, z) = (y + sin(x), z^2 + cos(y), 43 x^3). Então:
  • P = y + sin(x)
  • Q = z^2 + cos(y)
  • R = 43 x^3
Calculando as derivadas parciais:
partial Rpartial y = 0 e partial Qpartial z = 2z partial Ppartial z = 0 e partial Rpartial x = 4x^2 partial Qpartial x = 0 e partial Ppartial y = 1
Então:
nabla times F = ( 0 - 2z, 0 - 4x^2, 0 - 1 ) = (-2z, -4x^2, -1)

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície S cuja borda seja a curva C. Olhando para a parametrização de C, vemos que ela está no espaço, mas para simplificar, podemos projetar C no plano xy. Então, vamos escolher a superfície S como o disco no plano xy de raio 4 (já que x = 4cos(t) e ).
Para o disco no plano y = 4sen(t), o vetor normal xy é simplesmente n, pois está perpendicular ao plano (0, 0, 1).

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo nabla times F = (-2z, -4x^2, -1) e n = (0, 0, 1):
(nabla times F) cdot n = (-2z)(0) + (-4x^2)(0) + (-1)(1) = -1
Então, a integral se simplifica para:
integral duplaS -1 , dS = - integral duplaS dS
A área do disco de raio 4 é:
Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16pi Á
Portanto:
- integral duplaS dS = -16pi

Resposta

A integral de linha solicitada é -16pi.

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