Use o Teorema de Stokes para calcular
em que é a curva parametrizada por , sen . Dica: lembre-se que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para usar o Teorema de Stokes. O enunciado nos dá um campo vetorial e uma curva parametrizada. Nosso objetivo é calcular a integral de linha do campo ao longo da curva usando o Teorema de Stokes. Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional do campo vetorial e escolher uma superfície adequada que tenha como contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem como fronteira. A fórmula é:
Onde:
  • é o rotacional de .
  • é o vetor normal à superfície .
  • é o elemento de área da superfície.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional do campo vetorial . O rotacional de um campo é dado por:
No nosso caso, . Então:
Calculando as derivadas parciais:
Então:

Passo 4

Agora, precisamos escolher uma superfície cuja borda seja a curva . Olhando para a parametrização de , vemos que ela está no espaço, mas para simplificar, podemos projetar no plano . Então, vamos escolher a superfície como o disco no plano de raio 4 (já que e ).
Para o disco no plano , o vetor normal é simplesmente , pois está perpendicular ao plano .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície:
Substituindo e :
Então, a integral se simplifica para:
A área do disco de raio 4 é:
Á
Portanto:

Resposta

A integral de linha solicitada é .

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