Considere a parábola que tem foco no ponto
e reta diretriz
. A intersecção desta parábola com a reta
nos dá dois pontos
e
. Qual o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma parábola com foco no ponto
e uma reta diretriz dada por
. Queremos encontrar os pontos onde essa parábola intercepta a reta
, que são
e
. Nosso objetivo final é descobrir o valor de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de parábola e como encontrar sua equação a partir do foco e da diretriz. Além disso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica para encontrar os pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz.
Dado isso, para encontrar a equação da parábola, podemos usar a condição de que a distância de um ponto
na parábola ao foco
é igual à distância desse ponto à diretriz
.
Passo 3
Vamos escrever a fórmula da distância entre dois pontos. A distância entre
e
é:
A distância entre
e a reta diretriz
pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:
Como a distância é igual, temos:
Passo 4
Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo os termos:
Passo 5
Agora, simplificamos a equação. Subtraímos
de ambos os lados:
Vamos mover os termos envolvendo
para um lado:
Então, a equação da parábola é:
Passo 6
Agora que temos a equação da parábola, vamos encontrar os pontos de interseção com a reta
, ou seja,
.
Substituímos
na equação da parábola:
Passo 7
Resolvendo a equação para
:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 8
Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Queremos encontrar
:
Resposta
O valor de
é 6.