Considere a parábola que tem foco no ponto F=(3,2) e reta diretriz r: y+2=0. A intersecção desta parábola com a reta t: y-2=0 nos dá dois pontos P1=(x1, 2) e P2=(x2, 2). Qual o valor de x1+x2 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma parábola com foco no ponto e uma reta diretriz dada por . Queremos encontrar os pontos onde essa parábola intercepta a reta , que são e . Nosso objetivo final é descobrir o valor de .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a definição de parábola e como encontrar sua equação a partir do foco e da diretriz. Além disso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica para encontrar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz.
Dado isso, para encontrar a equação da parábola, podemos usar a condição de que a distância de um ponto na parábola ao foco é igual à distância desse ponto à diretriz .

Passo 3

Vamos escrever a fórmula da distância entre dois pontos. A distância entre raiz(x - 3)^2 + (y - 2)^2 e |y + 2|raiz0^2 + 1^2 = |y + 2| é:
raiz(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = |y + 2|
A distância entre e a reta diretriz pode ser calculada usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:
Como a distância é igual, temos:

Passo 4

Vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = (y + 2)^2
Expandindo os termos:
(x - 3)^2 + y^2 - 4y + 4 = y^2 + 4y + 4

Passo 5

Agora, simplificamos a equação. Subtraímos (x - 3)^2 - 4y + 4 = 4y + 4 de ambos os lados:
(x - 3)^2 = 8y
Vamos mover os termos envolvendo (x - 3)^2 = 8y para um lado:
Então, a equação da parábola é:

Passo 6

Agora que temos a equação da parábola, vamos encontrar os pontos de interseção com a reta (x - 3)^2 = 8 times 2 , ou seja, (x - 3)^2 = 16 .
Substituímos na equação da parábola:

Passo 7

Resolvendo a equação para x - 3 = pm raiz16 :
x - 3 = pm 4
x = 3 + 4 = 7
Isso nos dá duas soluções:
x = 3 - 4 = -1

Passo 8

Portanto, os pontos de interseção são x1 + x2 = 7 + (-1) = 6 e .
Queremos encontrar :

Resposta

O valor de é 6.

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