Esboçar o gráfico da cônica representada por: x^2+4 x y+4 y^2-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da cônica representada pela equação . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e como transformar a equação para facilitar o esboço do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica temos aqui. A presença do termo indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos eliminar esse termo usando uma rotação de eixos. A ideia é encontrar um ângulo que alinha a cônica com os novos eixos.

Passo 3

A fórmula para eliminar o termo tan(2theta) = BA - C é escolhendo tan(2theta) = 41 - 4 = 4-3 = -43 tal que:
2theta = arctan(-43) Rightarrow theta = 12 arctan(-43)
Aqui, , e . Substituindo:
Agora, calculamos :

Passo 4

Após encontrar x = x'costheta - y'sintheta , aplicamos as transformações de coordenadas:
y = x'sintheta + y'costheta
Substituindo essas expressões na equação original, vamos eliminar o termo , deixando a equação na forma , que é mais fácil de identificar e esboçar.

Passo 5

Depois de simplificar a equação transformada, identificamos os coeficientes de e . Dependendo dos sinais e valores desses coeficientes, determinamos se estamos lidando com uma elipse, hipérbole ou parábola.
Por exemplo, se os coeficientes de e tiverem sinais iguais, teremos uma elipse; se tiverem sinais opostos, é uma hipérbole.

Passo 6

Com a equação na forma simplificada, podemos identificar os eixos principais da cônica, os vértices e outros pontos importantes para desenhar o esboço. Utilizamos as propriedades da elipse ou hipérbole correspondente para traçar o gráfico corretamente.

Resposta

Após realizar a rotação dos eixos e simplificar a equação, concluímos que a cônica representada por é uma elipse. O esboço do gráfico resulta em uma elipse inclinada em relação aos eixos coordenados originais, com seus eixos principais alinhados de acordo com o ângulo de rotação calculado.

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