Esboçar o gráfico da cônica representada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçar o gráfico da cônica representada pela equação
. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e como transformar a equação para facilitar o esboço do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica temos aqui. A presença do termo
indica que a cônica está rotacionada em relação aos eixos coordenados. Para simplificar, vamos eliminar esse termo usando uma rotação de eixos. A ideia é encontrar um ângulo
que alinha a cônica com os novos eixos.
Passo 3
A fórmula para eliminar o termo
é escolhendo
tal que:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Agora, calculamos
:
Passo 4
Após encontrar
, aplicamos as transformações de coordenadas:
Substituindo essas expressões na equação original, vamos eliminar o termo
, deixando a equação na forma
, que é mais fácil de identificar e esboçar.
Passo 5
Depois de simplificar a equação transformada, identificamos os coeficientes de
e
. Dependendo dos sinais e valores desses coeficientes, determinamos se estamos lidando com uma elipse, hipérbole ou parábola.
Por exemplo, se os coeficientes de
e
tiverem sinais iguais, teremos uma elipse; se tiverem sinais opostos, é uma hipérbole.
Passo 6
Com a equação na forma simplificada, podemos identificar os eixos principais da cônica, os vértices e outros pontos importantes para desenhar o esboço. Utilizamos as propriedades da elipse ou hipérbole correspondente para traçar o gráfico corretamente.
Resposta
Após realizar a rotação dos eixos e simplificar a equação, concluímos que a cônica representada por
é uma elipse. O esboço do gráfico resulta em uma elipse inclinada em relação aos eixos coordenados originais, com seus eixos principais alinhados de acordo com o ângulo de rotação calculado.