Verificar se são coplanares os pontos
(a) A(1,1,1), B(-2,-1,3), C(0,2,-2) e D(-1,0,-2). Resp: Não

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar se os pontos , , e são coplanares. O conteúdo envolvido aqui é a geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente o conceito de coplanaridade de pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar o produto escalar triplo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores que ligam o ponto AB = B - A = (-2-1, -1-1, 3-1) = (-3, -2, 2) aos outros pontos. Esses vetores são AC = C - A = (0-1, 2-1, -2-1) = (-1, 1, -3) , AD = D - A = (-1-1, 0-1, -2-1) = (-2, -1, -3) e .
Vamos calcular cada um:

Passo 3

Agora, vamos utilizar o produto escalar triplo desses vetores para verificar a coplanaridade. O produto escalar triplo é dado por:
AB cdot (AC times AD)
Se esse produto for igual a zero, os pontos são coplanares; caso contrário, não são.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) . O produto vetorial de dois vetores AC times AD = ( (1)(-3) - (-3)(-1), (-3)(-2) - (-1)(-3), (-1)(-1) - (1)(-2) ) e = (-3 - 3, 6 - 3, 1 + 2) = (-6, 3, 3) é:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar de AB cdot (AC times AD) = (-3)(-6) + (-2)(3) + (2)(3) = 18 - 6 + 6 = 18 com o resultado do produto vetorial :

Resposta

Como o produto escalar triplo é diferente de zero ( ), os pontos , , e não são coplanares.

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