Determinar as equações reduzidas (variável independente x ) da reta determinada pelos pares de pontos:
(a) A(1,-2,3) e B(3,-1,-1). Resp: ly=x2-52 z=-2 x+5

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações reduzidas da reta formada pelos pontos A(1, -2, 3) e B(3, -1, -1). Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, especificamente sobre equações paramétricas e reduzidas de retas em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas do ponto A pelas do ponto B:
AB = B - A = (3 - 1, -1 - (-2), -1 - 3) = (2, 1, -4)
Então, o vetor diretor é v = (2, 1, -4).

Passo 3

Com o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta. Vamos considerar x como a variável independente, ou seja, vamos expressar y e z em função de x.
Primeiro, escrevemos as equações paramétricas usando o ponto A(1, -2, 3):
x = 1 + 2t
y = -2 + 1t
z = 3 - 4t
onde t é o parâmetro real.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação paramétrica de x para encontrar o parâmetro t em termos de x:
x = 1 + 2t implies t = x - 12

Passo 5

Substituímos o valor de t nas equações de y e z para obter as equações reduzidas:
y = -2 + x - 12 = x2 - 52
z = 3 - 4(x - 12) = 3 - 2(x - 1) = -2x + 5

Resposta

l y=x2-52 z=-2 x+5

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