Esboçar o gráfico da cônica representada por: x^2+4 y^2+3 raiz3 x y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica: . Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa cônica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como identificar o tipo de cônica e possivelmente rotacionar os eixos para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Na equação geral da cônica B^2 - 4AC = (3raiz3)^2 - 4 cdot 1 cdot 4 = 27 - 16 = 11 , podemos usar o discriminante para descobrir isso. Aqui, , e .
Calculando o discriminante:
Como o resultado é positivo ( ), sabemos que a cônica é uma hipérbole.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma hipérbole, vamos simplificar a equação para facilitar o desenho. Notamos que há um termo x = x'costheta - y'sintheta , o que indica que os eixos da hipérbole estão rotacionados. Para eliminar esse termo, vamos fazer uma rotação dos eixos.
A fórmula para a rotação é:
y = x'sintheta + y'costheta
tan(2theta) = BA - C = 3raiz31 - 4 = -raiz3
Precisamos escolher o ângulo 2theta = -60° implies theta = -30° de forma que o termo desapareça. A condição para isso é:
Resolvendo para :

Passo 4

Com A'x'^2 + C'y'^2 = 1 , vamos substituir e na equação original. Fazendo as contas (isso envolve um pouco de trigonometria, mas o importante é que após a substituição e simplificação, o termo vai desaparecer), a equação fica mais simples, algo como:
Onde e são novos coeficientes que dependem das substituições.

Passo 5

Após simplificar, a equação obtida representará uma hipérbole padrão, onde podemos identificar os eixos principais e os vértices. Com esses dados, fica mais fácil desenhar o gráfico da hipérbole no sistema de coordenadas .

Passo 6

Finalmente, como fizemos uma rotação de , vamos desenhar a hipérbole no gráfico original, aplicando essa rotação. O gráfico final será uma hipérbole inclinada no sentido determinado pelo ângulo de rotação.

Resposta

O gráfico da cônica �� uma hipérbole rotacionada em em relação aos eixos coordenados tradicionais.

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