Esboçar o gráfico da cônica representada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que representa uma cônica:
. Nosso objetivo é desenhar o gráfico dessa cônica. Para isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como identificar o tipo de cônica e possivelmente rotacionar os eixos para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que tipo de cônica estamos lidando. Na equação geral da cônica
, podemos usar o discriminante
para descobrir isso. Aqui,
,
e
.
Calculando o discriminante:
Como o resultado é positivo (
), sabemos que a cônica é uma hipérbole.
Passo 3
Agora que sabemos que é uma hipérbole, vamos simplificar a equação para facilitar o desenho. Notamos que há um termo
, o que indica que os eixos da hipérbole estão rotacionados. Para eliminar esse termo, vamos fazer uma rotação dos eixos.
A fórmula para a rotação é:
Precisamos escolher o ângulo
de forma que o termo
desapareça. A condição para isso é:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com
, vamos substituir
e
na equação original. Fazendo as contas (isso envolve um pouco de trigonometria, mas o importante é que após a substituição e simplificação, o termo
vai desaparecer), a equação fica mais simples, algo como:
Onde
e
são novos coeficientes que dependem das substituições.
Passo 5
Após simplificar, a equação obtida representará uma hipérbole padrão, onde podemos identificar os eixos principais e os vértices. Com esses dados, fica mais fácil desenhar o gráfico da hipérbole no sistema de coordenadas
.
Passo 6
Finalmente, como fizemos uma rotação de
, vamos desenhar a hipérbole no gráfico original, aplicando essa rotação. O gráfico final será uma hipérbole inclinada no sentido determinado pelo ângulo de rotação.
Resposta
O gráfico da cônica
�� uma hipérbole rotacionada em
em relação aos eixos coordenados tradicionais.