Considere o paralelepípedo ABCDEFGH com relação os seguintes vetores LI, A B=(1,0,1), B E= (1,1,1) e A D=(0,3,3). Calcule: O volume do Paralelepípedo ABCDEFGH

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um paralelepípedo chamado ABCDEFGH. A matéria aqui é Geometria Analítica, especificamente sobre vetores e volumes de paralelepípedos. Para resolver, vamos precisar entender como utilizar vetores e o produto misto (produto escalar triplo) para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores que definem o paralelepípedo. Temos três vetores:
  • AB = (1, 0, 1)
  • BE = (1, 1, 1)
  • AD = (0, 3, 3)
Esses vetores representam as arestas que saem de um mesmo vértice do paralelepípedo.

Passo 3

Para encontrar o volume do paralelepípedo, usamos o produto misto dos três vetores. O produto misto é calculado como o determinante da matriz formada por esses vetores. A fórmula para o volume V = |AB cdot (BE times AD)| é:
BE
Isso significa que primeiro vamos calcular o produto vetorial de AD e AB, e depois fazer o produto escalar desse resultado com .

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial BE times AD = i & j & k 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 :
i(1 cdot 3 - 1 cdot 3) - j(1 cdot 3 - 1 cdot 0) + k(1 cdot 3 - 1 cdot 0) = i(0) - j(3) + k(3) = (0, -3, 3)
Expandindo o determinante:

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar de AB com o resultado acima:
AB cdot (0, -3, 3) = (1 cdot 0) + (0 cdot -3) + (1 cdot 3) = 0 + 0 + 3 = 3
O volume é o valor absoluto desse resultado.

Resposta

O volume do paralelepípedo ABCDEFGH é 3 unidades cúbicas.

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